Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Тема: Все темы >> Алгебра и арифметика >> Системы счисления >> Десятичная система счисления
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 15 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Автор: Белухов Н.

Даны выпуклый многоугольник $M$ и простое число $p$. Оказалось, что существует ровно $p$ способов разбить $M$ на равносторонние треугольники со стороной 1 и квадраты со стороной 1.
Докажите, что длина одной из сторон многоугольника $M$ равна  $p$ – 1.

Вниз   Решение

В равнобедренном треугольнике ABC (AB = BC) биссектрисы BD и AF пересекаются в точке O. Отношение площади треугольника DOA к площади треугольника BOF равно $ {\frac{3}{8}}$. Найдите отношение $ {\frac{AC}{AB}}$.

ВверхВниз   Решение

В правильной треугольной пирамиде SABC ( S – вершина, SA = 2 ) точка D – середина ребра SB . Расстояние от точки C до прямой AD равно . Найдите объём пирамиды. Дана сфера радиуса с центром в точке C . Рассматриваются всевозможные правильные тетраэдры MNPQ такие, что точки P и Q лежат на прямой AD , а прямая MN касается сферы в одной из точек отрезка MN . Найдите наименьшее значение длины ребра рассматриваемых тетраэдров.

ВверхВниз   Решение

В окружности проведены хорды AB и BC, причём AB = $ \sqrt{3}$, BC = 3$ \sqrt{3}$, $ \angle$ABC = 60o. Найдите длину той хорды окружности, которая делит угол ABC пополам.

ВверхВниз   Решение

По стороне правильного треугольника катится окружность радиуса, равного его высоте. Докажите, что угловая величина дуги, высекаемой на окружности сторонами треугольника, всегда равна 600.

ВверхВниз   Решение

Тройки чисел (xn, yn, zn) (n $ \geqslant$ 1) строятся по правилу: x1 = 2, y1 = 4, z1 = 6/7,

xn + 1 = $\displaystyle {\frac{2x_n}{x_n^2-1}}$,    yn + 1 = $\displaystyle {\frac{2y_n}{y_n^2-1}}$,    zn + 1 = $\displaystyle {\frac{2z_n}{z_n^2-1}}$,    (n $\displaystyle \geqslant$ 1).


а) Докажите, что указанный процесс построения троек может быть неограниченно продолжен.
б) Может ли на некотором шаге получится тройка чисел (xn, yn, zn), для которой xn + yn + zn = 0?

ВверхВниз   Решение

Найдите двузначное число, которое вдвое больше произведения своих цифр.

ВверхВниз   Решение

Пусть H — точка пересечения высот треугольника ABC. Докажите, что треугольник с вершинами в центрах описанных окружностей треугольников BHC, AHC и AHB равен треугольнику ABC.

ВверхВниз   Решение

С помощью циркуля и линейки впишите в данный треугольник равнобедренный треугольник данной высоты так, чтобы основание его было параллельно одной из сторон данного треугольника.

ВверхВниз   Решение

Окружность радиуса R, построенная на большем основании AD трапеции ABCD как на диаметре, касается меньшего основания BC в точке C, а боковой стороны AB — в точке A. Найдите диагонали трапеции.

ВверхВниз   Решение

В прямоугольном треугольнике медианы, проведённые из вершин острых углов, равны   и  .  Найдите гипотенузу треугольника.

ВверхВниз   Решение

Автор: Ясиновый Э.А.

Обозначим через Tk(n) сумму произведений по k чисел от 1 до n. Например,    T2(4) = 1·2 + 1·3 + 1·4 + 2·3 + 2·4 + 3·4.
   а) Найдите формулы для T2(n) и T3(n).
   б) Докажите, что Tk(n) является многочленом от n степени 2k.
   в) Укажите метод нахождения многочленов Tk(n) при  k = 2, 3, 4, ...  и примените его для отыскания многочленов T4(n) и T5(n).

ВверхВниз   Решение

Чему равно выражение (102+112+122+132+142)/365 ?

ВверхВниз   Решение

Автор: Кожевников П.А.

Выпуклый пятиугольник ABCDE таков, что  AB || CD,  BC || AD,  AC || DE,  CE ⊥ BC.  Докажите, что EC – биссектриса угла BED.

ВверхВниз   Решение

Незнайка взял у Пилюлькина книжку и сосчитал, сколько понадобилось цифр, чтобы пронумеровать все страницы, начиная с первой. У него получилось 100 цифр. Могло ли так быть, или Незнайка ошибся? Если могло, скажите, сколько было страниц.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 499]      

  с решениями  

Задача 86490

Темы:   [ Десятичная система счисления ]
[ Подсчет двумя способами ]
[ Перебор случаев ]
Сложность: 2+
Классы: 7,8,9

Вася задумал три различные цифры, отличные от нуля. Петя записал все возможные двузначные числа, в десятичной записи которых использовались только эти цифры. Сумма записанных чисел равна 231. Найдите цифры, задуманные Васей.
Прислать комментарий     Решение

Задача 86510

Темы:   [ Десятичная система счисления ]
[ Арифметика. Устный счет и т.п. ]
Сложность: 2+
Классы: 7,8,9

Дано число: 123456789101112... . Какая цифра стоит на 2000-м месте?
Прислать комментарий     Решение

Задача 88002

Темы:   [ Десятичная система счисления ]
[ Четность и нечетность ]
[ Инварианты ]
Сложность: 2+
Классы: 6,7,8

Незнайка взял у Пилюлькина книжку и сосчитал, сколько понадобилось цифр, чтобы пронумеровать все страницы, начиная с первой. У него получилось 100 цифр. Могло ли так быть, или Незнайка ошибся? Если могло, скажите, сколько было страниц.

Прислать комментарий     Решение

Задача 88062

Темы:   [ Десятичная система счисления ]
[ Арифметика. Устный счет и т.п. ]
Сложность: 2+
Классы: 6,7,8

Из книги выпала часть. Первая из выпавших страниц имеет номер 387, а номер последней состоит из тех же цифр, но записанных в другом порядке. Сколько листов выпало из книги?
Прислать комментарий     Решение

Задача 88270

Темы:   [ Десятичная система счисления ]
[ Уравнения в целых числах ]
Сложность: 2+
Классы: 5,6,7

Найдите двузначное число, которое вдвое больше произведения своих цифр.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 499]      

  с решениями  

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .