Радиусы двух окружностей равны R и r, а расстояние между их центрами равно d. Докажите, что эти окружности пересекаются тогда и только тогда, когда  | R - r| < d < R + r.

   Решение

  а) Головоломка "Ханойская башня" представляет собой восемь дисков, нанизанных в порядке уменьшения размеров на один из трёх колышков. Требуется переместить всю башню на другой колышек, перенося каждый раз только один диск и не помещая больший диск на меньший. Докажите, что головоломка имеет решение. Какой способ будет оптимальным (по числу перекладываний дисков)?

  б) Занумеруем колышки числами 1, 2, 3. Требуется переместить диски с 1-го колышка на 3-й. Сколько понадобится перекладываний, если прямое перемещение диска с 1-го колышка на 3-й и с 3-го на 1-й запрещено (каждое перекладывание должно производиться через 2-й колышек)?

  в) Сколько понадобится перекладываний, если в условии пункта а) добавить дополнительное требование: первый (самый маленький) диск нельзя класть на 2-й колышек?

   Решение

Через точку A проведена прямая l, пересекающая окружность S с центром O в точках M и N и не проходящая через O. Пусть M' и N' — точки, симметричные M и N относительно OA, а A' — точка пересечения прямых MN' и M'N. Докажите, что A' совпадает с образом точки A при инверсии относительно S (и, следовательно, не зависит от выбора прямой l).

   Решение

По кругу в некотором порядке расставлены все натуральные числа от 1 до 1000 таким образом, что каждое из чисел является делителем суммы двух своих соседей. Известно, что рядом с числом k стоят два нечётных числа. Какой чётности может быть число k?

   Решение

В одной урне лежат два белых шара, в другой два черных, в третьей - один белый и один черный. На каждой урне висела табличка, указывающее ее содержимое: ББ, ЧЧ, БЧ. Некто перевесил таблички так, что теперь каждая табличка указывает содержимое урны неправильно. Разрешается вынуть шар из любой урны, не заглядывая в нее. Какое наименьшее число извлечений потребуется, чтобы определить состав всех трех урн?

   Решение

Докажите, что при инверсии относительно описанной окружности изодинамические центры треугольника переходят друг в друга.

   Решение

Имеются 6 запертых чемоданов и 6 ключей к ним. При этом неизвестно, к какому чемодану подходит какой ключ. Какое наименьшее число попыток надо сделать, чтобы наверняка открыть все чемоданы? А сколько понадобится попыток, если ключей и чемоданов будет не по 6, а по 10?

   Решение

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 276]      

Таня стоит на берегу речки. У неё есть два глиняных кувшина: один — на 5 литров, а про второй Таня помнит лишь то, что он вмещает то ли 3, то ли 4 литра. Помогите Тане определить ёмкость второго кувшина. (Заглядывая в кувшин, нельзя понять, сколько в нём воды.)

Прислать комментарий

Решение

На столе стоят восемь стаканов с водой. Разрешается взять любые два стакана и уравнять в них количества воды, перелив часть воды из одного стакана в другой. Докажите, что с помощью таких операций можно добиться того, чтобы во всех стаканах было поровну воды.

Прислать комментарий

Решение

Путешественник, сняв в гостинице комнату на неделю, предложил хозяину в уплату цепочку из семи серебряных колец  — по кольцу за день, с тем, однако, условием, что будет рассчитываться ежедневно. Хозяин согласился, оговорив со своей стороны, что можно распилить только одно кольцо. Как путешественнику удалось расплатиться с хозяином гостиницы?

Прислать комментарий

Решение

Имеются 6 запертых чемоданов и 6 ключей к ним. При этом неизвестно, к какому чемодану подходит какой ключ. Какое наименьшее число попыток надо сделать, чтобы наверняка открыть все чемоданы? А сколько понадобится попыток, если ключей и чемоданов будет не по 6, а по 10?

Прислать комментарий

Решение

Сломанный калькулятор выполняет только одну операцию "звездочка":  a☆b = 1 – a : b.
Докажите, что с помощью этого калькулятора все же возможно выполнить любое из четырёх арифметических действий.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 276]