Каталог по темам

Выбрано 7 задач

Даны выпуклый многоугольник $M$ и простое число $p$ . Оказалось, что существует ровно $p$ способов разбить $M$ на равносторонние треугольники со стороной 1 и квадраты со стороной 1.
Докажите, что длина одной из сторон многоугольника $M$ равна $p$ – 1.

Решение

В равнобедренном треугольнике ABC (AB = BC) биссектрисы BD и AF пересекаются в точке O. Отношение площади треугольника DOA к площади треугольника BOF равно ${\frac{3}{8}}$ . Найдите отношение ${\frac{AC}{AB}}$ .

Решение

В правильной треугольной пирамиде SABC ( S – вершина, SA = 2 ) точка D – середина ребра SB . Расстояние от точки C до прямой AD равно . Найдите объём пирамиды. Дана сфера радиуса с центром в точке C . Рассматриваются всевозможные правильные тетраэдры MNPQ такие, что точки P и Q лежат на прямой AD , а прямая MN касается сферы в одной из точек отрезка MN . Найдите наименьшее значение длины ребра рассматриваемых тетраэдров.

Решение

В окружности проведены хорды AB и BC, причём AB = $\sqrt{3}$ , BC = 3 $\sqrt{3}$ , $\angle$ ABC = 60^o. Найдите длину той хорды окружности, которая делит угол ABC пополам.

Решение

По стороне правильного треугольника катится окружность радиуса, равного его высоте. Докажите, что угловая величина дуги, высекаемой на окружности сторонами треугольника, всегда равна 60⁰.

Решение

Тройки чисел (x_n, y_n, z_n) (n $\geqslant$ 1) строятся по правилу: x₁ = 2, y₁ = 4, z₁ = 6/7,

x_{n + 1} = $\displaystyle {\frac{2x_n}{x_n^2-1}}$ , y_{n + 1} = $\displaystyle {\frac{2y_n}{y_n^2-1}}$ , z_{n + 1} = $\displaystyle {\frac{2z_n}{z_n^2-1}}$ , (n $\displaystyle \geqslant$ 1).

а) Докажите, что указанный процесс построения троек может быть неограниченно продолжен.
б) Может ли на некотором шаге получится тройка чисел (x_n, y_n, z_n), для которой x_n + y_n + z_n = 0?

Решение

Найдите двузначное число, которое вдвое больше произведения своих цифр.

Решение

Задача 86490

Задача 86510

Задача 88002

Задача 88062

Задача 88270