ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 1 2 3 [Всего задач: 13]      



Задача 74200

Темы:   [ Правило произведения ]
[ Разбиения на пары и группы; биекции ]
[ Комбинаторика орбит ]
[ Теорема Лагранжа ]
[ Числовые таблицы и их свойства ]
Сложность: 4

Световое табло состоит из нескольких ламп, каждая из которых может находиться в двух состояниях (гореть или не гореть). На пульте несколько кнопок, при нажатии каждой из которых одновременно меняется состояние некоторого набора ламп (для каждой кнопки – своего). Вначале лампы не горят.
  а) Докажите, что число различных узоров, которые можно получить на табло, – степень двойки.
  б) Сколько различных узоров можно получить на табло, состоящем из mn лампочек, расположенных в форме прямоугольника размером m×n, если кнопками можно переключить как любой горизонтальный, так и любой вертикальный ряд ламп?

Прислать комментарий     Решение

Задача 79383

Темы:   [ Правило произведения ]
[ Разбиения на пары и группы; биекции ]
[ Комбинаторика орбит ]
[ Теорема Лагранжа ]
Сложность: 4
Классы: 9,10

На пульте имеется несколько кнопок, с помощью которых осуществляется управление световым табло. После нажатия любой кнопки некоторые лампочки на табло переключаются (для каждой кнопки есть свой набор лампочек, причём наборы могут пересекаться). Доказать, что число состояний, в которых может находиться табло, равно некоторой степени числа 2.

Прислать комментарий     Решение

Задача 60451

 [Формула для чисел Каталана]
Темы:   [ Числа Каталана ]
[ Принцип крайнего (прочее) ]
[ Комбинаторика орбит ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10,11

  а) Пусть  {a1, a2,..., an}  – последовательность целых чисел, сумма которых равна 1. Докажите, что ровно у одного из ее циклических сдвигов
{a1, a2, ..., an},  {a2, ..., an, a1},  ...,  {an, a1, ..., an–1}  все частичные суммы (от начала до произвольного элемента) положительны.

  б) Выведите отсюда равенства:      где  (4n – 2)!!!! = 2·6·10·...(4n – 2)  – произведение, в котором участвует каждое четвёртое число.
  Определение чисел Каталана Cn смотри в справочнике.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 [Всего задач: 13]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .