Страница: 1
2 >> [Всего задач: 9]
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10
|
Докажите, что в любой бесконечной десятичной дроби можно так переставить цифры, что полученная дробь станет рациональным числом.
Подсказка
Рассмотрите отдельно те цифры, которые встречаются конечное число раз и те, которые встречаются бесконечно много раз.
Решение
Дробь выражает рациональное число в том и только случае, когда она периодическая, начиная с некоторого знака. Цифры от 0 до 9 разделим на два класса: в первый класс включим те цифры, которые встречаются в исходной дроби конечное число раз, во второй класс – те, которые встречаются в исходной дроби бесконечное число раз. Начнем выписывать периодическую дробь, которая может быть получена из исходной перестановкой цифр. Вначале после нуля и запятой напишем в произвольном порядке все цифры из первого класса – каждую столько раз, сколько она встречается в записи исходной дроби. Записанные цифры первого класса будут являться предпериодом дроби. Далее запишем в некотором порядке по одному разу цифры из второго класса. Эту комбинацию объявим периодом и будем повторять её бесконечное число раз. Таким образом, мы выпишем искомую периодическую дробь.
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 6,7,8
|
В сумме
П,Я + Т,Ь + Д,Р + О,Б + Е,Й
все цифры зашифрованы буквами (разными буквами — разные цифры). Оказалось, что все пять слагаемых не целые, но сама сумма является целым числом. Каким именно?
Для каждого возможного ответа напишите один пример с такими пятью слагаемыми. Объясните, почему другие суммы получить нельзя.
Решение
Сумма Я+Ь+Р+Б+Й должна оканчиваться нулём. Сумму 10 получить можно, только если взять пять наименьших цифр (0+1+2+3+4=10), но такой пример не получится составить, так как ноль не может стоять после запятой (тогда дробь будет целым числом вопреки условию). Максимальная сумма пяти цифр 9+8+7+6+5=35, так что получить можно только суммы 20 и 30.
Заметим, что все буквы различны, то есть все десять цифр участвуют в записи по одному разу. Общая сумма всех десяти цифр равна 45. Поэтому если сумма цифр после запятой равна 20, то при суммировании после запятой мы получим 0, а в предыдущий разряд перенесем 2. Эта 2 добавится к сумме цифр до запятой, которая равна 45 − 20 = 25, и мы находим ответ 27. Аналогично, если сумма цифр после запятой равна 30, то ответ будет равен 45−30+3=18.
Ответ
27 (пример 0,5 + 1,6 + 7,4 + 8,3 + 9,2 = 27) и 18
(пример 0,9 + 1,8 + 3,7 + 5,4 + 6,2 = 18).
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 9,10
|
В десятичной записи положительного числа α отброшены все десятичные
знаки, начиная с третьего знака после запятой (то есть взято приближение α с недостатком с точностью до 0, 01). Полученное число делится на α и
частное снова округляется с недостатком с той же точностью. Какие числа при
этом могут получиться?
Решение
Пусть α = n/100 + α1, где n – целое число и 0 ≤ α1 < 1/100. Пусть, далее,
1/α·n/100 = m/100 + α2, где m – целое число и 0 ≤ α2 < 1/100. Нас интересует число m/100. Ясно, что 100α = n + 100α1, поэтому 
= 
≤ 1. Если n = 0, то m/100 = 0. Если же n > 0, то > ½, поскольку 100α1 < 1. Дробь может принимать все значение от ½ до 1. Действительно, положим n = 1. При изменении α1 от 0 до 1/100 число 
изменяется от 1 до ½.
Ответ
0; 0,5; 0,51; ... ; 0,99; 1.
Поставьте в каждом из шести чисел по одной запятой так, чтобы равенство стало верным: 2016 + 2016 + 2016 + 2016 + 2016 = 46368.
Ответ
20,16 + 20,16 + 20,16 + 201,6 + 201,6 = 463,68 или 2,016 + 2,016 + 2,016 + 20,16 + 20,16 = 46,368.
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 10,11
|
Найдите первые 99 знаков после запятой в разложении числа 
.
Решение
См. задачу 61477 б).
Ответ
99 нулей.
Страница: 1
2 >> [Всего задач: 9]
Фильтр
