Если  a ≡ b (mod m)  и  c ≡ d (mod m),  то  a – c ≡ b – d (mod m).

   Решение

Дан тетраэдр AB С D , в котором AB = 6 , AC = 7 , AD = 3 , BC = 8 , BD = 4 , CD = 5 . Найдите CM , где M – точка пересечения медиан грани ADB .

   Решение

Даны квадратные трёхчлены  f₁(x),  f₂(x), ...,  f₁₀₀(x) с одинаковыми коэффициентами при x², одинаковыми коэффициентами при x, но различными свободными членами; у каждого из них есть по два корня. У каждого трёхчлена f_i(x) выбрали один корень и обозначили его через x_i. Какие значения может принимать сумма  f₂(x₁) + f₃(x₂) + ... + f₁₀₀(x₉₉) + f₁(x₁₀₀)?

   Решение

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 52]      

Дан многочлен степени $n \geqslant 1$ с целыми ненулевыми коэффициентами, каждый из которых является его корнем. Докажите, что модули коэффициентов этого многочлена не превосходят 2.

Прислать комментарий

Решение

Даны положительные рациональные числа a, b. Один из корней трёхчлена  x² – ax + b  – рациональное число, в несократимой записи имеющее вид  ^m/_n.  Докажите, что знаменатель хотя бы одного из чисел a и b (в несократимой записи) не меньше n^2/3.

Прислать комментарий

Решение

Найдите все такие натуральные n, что при некоторых отличных от нуля действительных числах a, b, c, d многочлен  (ax + b)¹⁰⁰⁰ – (cx + d)¹⁰⁰⁰  после раскрытия скобок и приведения всех подобных слагаемых имеет ровно n ненулевых коэффициентов.

Прислать комментарий

Решение

Дан многочлен степени $n > 0$ с целыми ненулевыми коэффициентами, каждый из которых является его корнем. Докажите, что у этого многочлена не может быть никаких других коэффициентов, кроме $1$, $-1$ и $-2$.

Прислать комментарий

Решение

Пусть  1 + x + x² + ... + x^n–1 = F(x)G(x),  где F и G – многочлены, коэффициенты которых – нули и единицы  (n > 1).
Докажите, что один из многочленов F, G представим в виде  (1 + x + x² + ... + x^k–1)T(x),  где T(x) – также многочлен с коэффициентами 0 и 1  (k > 1).

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 52]