Страница:
<< 31 32 33 34
35 36 37 >> [Всего задач: 222]
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 9,10,11
|
Таблица 2×2024 заполнена целыми числами, причём в первой строке стоят числа из набора {1, ..., 2023}. Оказалось, что какие бы два столбца мы ни выбрали, разность их чисел из первой строки делится на разность их чисел из второй строки. Известно, что все числа во второй строке попарно различны. Обязательно ли тогда все числа в первой строке равны между собой?
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 7,8,9
|
Можно ли расставить цифры 0, 1 и 2 в клетках листа клетчатой бумаги размером 100×100 таким образом, чтобы в каждом прямоугольнике размером 3×4, стороны которого идут по сторонам клеток, оказалось бы три нуля, четыре единицы и пять двоек?
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 10,11
|
Автобусный маршрут содержит 14 остановок (считая две конечные). В автобусе
одновременно могут ехать не более 25 пассажиров. Доказать, что во время
поездки автобуса из одного конца в другой
a) найдутся восемь таких различных остановок A1, B1, A2, B2, A3, B3, A4, B4, что ни один пассажир не едет от A1 до B1, ни один пассажир не едет от A2 до B2, ни один пассажир не едет от A3 до B3 и ни один пассажир не едет от A4 до B4;
б) может оказаться, что пассажиры едут таким образом, что не существует десяти различных остановок A1, B1, A2, B2, A3, B3, A4, B4, A5, B5, которые обладали бы аналогичными свойствами.
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 8,9,10
|
В таблице из n столбцов и 2n строк, в которых выписаны все возможные различные наборы из n чисел 1 и –1, некоторые числа заменены нулями. Докажите, что можно выбрать некоторое непустое подмножество строк так, что:
а) сумма всех чисел в выбранных строках равна 0;
б) сумма всех выбранных строк есть нулевая строка.
(Строки складываются покоординатно как векторы.)
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 9,10,11
|
В таблице 2n×n были выписаны всевозможные строки длины n из чисел 1 и –1. Затем часть чисел заменили нулями. Докажите, что можно выбрать несколько строк, сумма которых есть строка из нулей. (Суммой строк называется строка, элементы которой являются суммами соответствующих элементов слагаемых.)
Страница:
<< 31 32 33 34
35 36 37 >> [Всего задач: 222]
Тема:
Все темы
>>
Алгебра и арифметика
>>
Текстовые задачи
>>
Таблицы и турниры
>>
Числовые таблицы и их свойства
