Страница:
<< 32 33 34 35
36 37 38 >> [Всего задач: 222]
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 8,9,10,11
|
В каждую клетку квадратной таблицы размера (2n – 1)×(2n – 1) ставится одно из чисел 1 или – 1. Расстановку чисел назовём удачной, если каждое число равно произведению всех соседних с ним (соседними считаются числа, стоящие в клетках с общей стороной). Найдите число удачных расстановок.
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 8,9,10,11
|
Клетки таблицы 100×100 окрашены в 4 цвета так, что в каждой строке и в каждом столбце ровно по 25 клеток каждого цвета.
Докажите, что найдутся две строки и два столбца, все четыре клетки на пересечении которых окрашены в разные цвета.
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 7,8,9
|
В клетках таблицы m×n расставлены числа. Оказалось, что в каждой клетке записано количество соседних с ней по стороне клеток, в которых стоит единица. При этом не все числа – нули. При каких числах m и n, больших 100, такое возможно?
|
|
|
Сложность: 5+
Классы: 9,10,11
|
В каждую клетку бесконечного листа клетчатой бумаги вписано некоторое число так, что сумма чисел в любом квадрате, стороны которого идут по линиям сетки, по модулю не превосходит единицы.
а) Докажите существование такого числа c, что сумма чисел в любом прямоугольнике, стороны которого идут по линиям сетки, не больше c; другими словами, докажите, что суммы чисел в прямоугольниках ограничены.
б) Докажите, что можно взять c = 4.
в) Улучшите эту оценку – докажите, что утверждение верно для c = 3.
г) Постройте пример, показывающий, что при c > 3 утверждение неверно.
|
|
|
Сложность: 6
Классы: 8,9,10,11
|
У Полины есть колода из 36 карт (4 масти по 9 карт в каждой). Она
выбирает из неё половину карт, какие хочет, и отдает Василисе, а
вторую половину оставляет себе. Далее каждым ходом игроки по очереди
открывают по одной карте по своему выбору (соперник видит масть и
достоинство открытой карты), начиная с Полины. Если в ответ на ход
Полины Василиса смогла положить карту той же масти или того же
достоинства, то Василиса зарабатывает одно очко. Какое наибольшее
количество очков Василиса может гарантированно заработать?
Страница:
<< 32 33 34 35
36 37 38 >> [Всего задач: 222]
Тема:
Все темы
>>
Алгебра и арифметика
>>
Текстовые задачи
>>
Таблицы и турниры
>>
Числовые таблицы и их свойства
