Каталог по темам

Задачи

Страница: << 37 38 39 40 41 42 43 >> [Всего задач: 215]

Задача 111865

Темы:	[	Квадратные уравнения. Теорема Виета	]
	[	Числовые таблицы и их свойства	]
	[	Простые числа и их свойства	]
	[	Доказательство от противного	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10,11

Авторы: Богданов И.И., Подлипский О.К.

Числа от 51 до 150 расставлены в таблицу 10×10. Может ли случиться, что для каждой пары чисел a, b, стоящих в соседних по стороне клетках, хотя бы одно из уравнений x² – ax + b = 0 и x² – bx + a = 0 имеет два целых корня?

Прислать комментарий

Решение

Задача 73699

Темы:	[	Линейные рекуррентные соотношения	]
Темы:	[	Числовые таблицы и их свойства	]

Сложность: 5-
Классы: 8,9,10

Автор: Гервер М.Л.

На белых клетках бесконечной шахматной доски, заполняющей верхнюю полуплоскость, записаны какие-то числа так, что для каждой чёрной клетки сумма чисел, стоящих в двух соседних с ней клетках – справа и слева, – равна сумме двух других чисел, стоящих в соседних с ней клетках – сверху и снизу. Известно число, стоящее в одной клетке n-й строки (крестик на рисунке), а требуется узнать число, стоящее над ним в (n+2)-й строке (знак вопроса на рисунке). Сколько ещё чисел, стоящих в двух нижних строках (точки на рисунке), нужно для этого знать?

Прислать комментарий

Решение

Задача 73647

Темы:	[	Линейная и полилинейная алгебра	]
	[	Числовые таблицы и их свойства	]
	[	Линейные зависимости векторов	]

Сложность: 5
Классы: 10,11

В таблице размером m×n записаны числа так, что для каждых двух строк и каждых двух столбцов сумма чисел в двух противоположных вершинах образуемого ими прямоугольника равна сумме чисел в двух других его вершинах. Часть чисел стёрли, но по оставшимся можно восстановить стёртые. Докажите, что осталось не меньше чем (n + m – 1) чисел.

Прислать комментарий

Решение

Задача 97761

Темы:	[	Теория графов (прочее)	]
Темы:	[	Числовые таблицы и их свойства	]

Сложность: 5
Классы: 9,10,11

Автор: Анджанс А.

В таблице N×N, заполненной числами, все строки различны (две строки называются различными, если они отличаются хотя бы в одном элементе).
Докажите, что из таблицы можно вычеркнуть некоторый столбец так, что в оставшейся таблице опять все строки будут различны.

Прислать комментарий

Решение

Задача 73695

Темы:	[	Турниры и турнирные таблицы	]
	[	Числовые таблицы и их свойства	]
	[	Метод спуска	]
	[	Линейная и полилинейная алгебра	]
	[	Симметрия и инволютивные преобразования	]
	[	Четность и нечетность	]

Сложность: 5+
Классы: 9,10,11

Автор: Каспаров Г.А.

Когда закончился хоккейный турнир (в один круг), оказалось, что для каждой группы команд можно найти команду (может быть, из той же группы), которая набрала в играх с командами этой группы нечётное число очков. Докажите, что в турнире участвовало чётное число команд. (Поражение – 0 очков, ничья – 1 очко, выигрыш – 2 очка.)

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 37 38 39 40 41 42 43 >> [Всего задач: 215]