Страница:
<< 24 25 26 27
28 29 30 >> [Всего задач: 632]
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9
|
2m-значное число назовём справедливым, если его чётные разряды содержат столько же чётных цифр, сколько и нечётные. Докажите, что в любом (2m+1)-значном числе можно вычеркнуть одну из цифр так, чтобы полученное 2m-значное число было справедливым. Пример для числа 12345 показан на рисунке.
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 10,11
|
В числовом треугольнике
каждое число равно сумме чисел, расположенных в предыдущей строке над этим числом и над его соседями справа и слева (отсутствующие числа считаются равными нулю).
Докажите, что в каждой строке, начиная с третьей, найдутся чётные числа.
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11
|
Рассматриваются всевозможные десятизначные числа, записываемые при помощи двоек и
единиц. Разбить их на два класса так, чтобы при сложении любых двух чисел каждого
класса получалось число, в написании которого содержится не менее двух троек.
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 9,10
|
Имеется бесконечная шахматная доска. Обозначим через (a, b) поле, расположенное на пересечении горизонтали с номером a и вертикали с номером b. Фишка с поля (a, b) может сделать ход на любое из восьми полей: (a ± m, b ± n),
(a ± n, b ± m), где m, n – фиксированные числа, а "+" и "–" комбинируются произвольно. Сделав x ходов, фишка вернулась на исходное поле. Доказать, что x чётно.
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9
|
Дана ладья, которой разрешается делать ходы только длиной в одну клетку. Доказать, что она может обойти все клетки прямоугольной шахматной доски, побывав на каждой клетке ровно один раз, и вернуться в начальную клетку тогда и только тогда, когда число клеток на доске чётно.
Страница:
<< 24 25 26 27
28 29 30 >> [Всего задач: 632]
Фильтр
