Версия для печати
Убрать все задачи

---

Дан многочлен  f(x) = x⁴ + ax³ + bx² + cx.  Известно, что каждое из уравнений  f(x) = 1  и  f(x) = 2  имеет четыре корня. Докажите, что если для корней первого уравнения выполняется равенство  x₁ + x₂ = x₃ + x₄,  то и для корней второго уравнения выполняется аналогичное равенство.

   Решение

---

На экране компьютера – число 12. Каждую секунду число на экране умножают или делят либо на 2, либо на 3. Результат действия возникает на экране вместо записанного числа. Ровно через минуту на экране появилось число. Могло ли это быть число 54?

   Решение

Страница: << 79 80 81 82 83 84 85 >> [Всего задач: 632]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 35723

Темы:   [ Системы точек и отрезков. Примеры и контрпримеры ] [ Четность и нечетность ] [ Правильные многоугольники ]

Сложность: 4 Классы: 9,10

а) 10 точек, делящие окружность на 10 равных дуг, попарно соединены пятью хордами. Обязательно ли среди них найдутся две хорды одинаковой длины?

б) 20 точек, делящие окружность на 20 равных дуг, попарно соединены 10 хордами. Докажите, что среди них обязательно найдутся две хорды одинаковой длины?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60411

Темы:   [ Треугольник Паскаля и бином Ньютона ] [ Четность и нечетность ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

При каких значениях n все коэффициенты в разложении бинома Ньютона  (a + b)ⁿ  нечётны?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64452

Темы:   [ Вписанные и описанные многоугольники ] [ Четность и нечетность ] [ Соображения непрерывности ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

В окружность вписан 101-угольник. Из каждой его вершины опустили перпендикуляр на прямую, содержащую противоположную сторону.
Докажите, что хотя бы у одного из перпендикуляров основание попадёт на сторону (а не на её продолжение).

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64528

Темы:   [ Шахматные доски и шахматные фигуры ] [ Четность и нечетность ] [ Процессы и операции ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

На каждой клетке доски 10×10 стоит фишка. Разрешается выбрать диагональ, на которой стоит чётное число фишек, и снять с неё любую фишку.
Какое наибольшее число фишек можно убрать с доски такими операциями?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64608

Темы:   [ Кооперативные алгоритмы ] [ Четность и нечетность ] [ Оценка + пример ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

По кругу стоят 99 детей, изначально у каждого есть мячик. Ежеминутно каждый ребёнок с мячиком кидает свой мячик одному из двух соседей; при этом, если два мячика попадают к одному ребёнку, то один из этих мячиков теряется безвозвратно. Через какое наименьшее время у детей может остаться только один мячик?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 79 80 81 82 83 84 85 >> [Всего задач: 632]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями