Каталог по темам

Задачи

Страница: << 45 46 47 48 49 50 51 >> [Всего задач: 704]

Задача 60993

Темы:	[	Рекуррентные соотношения (прочее)	]
	[	НОД и НОК. Взаимная простота	]
	[	Алгоритм Евклида	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Последовательность a₀, a₁, a₂, ... задана условиями a₀ = 0, a_n+1 = P(a_n) (n ≥ 0), где P(x) – многочлен с целыми коэффициентами, P(x) > 0 при x ≥ 0.
Докажите, что для любых натуральных m и k (a_m, a_k) = a_{(m, k)}.

Прислать комментарий

Решение

Задача 61128

Темы:	[	Суммы числовых последовательностей и ряды разностей	]
	[	Треугольник Паскаля и бином Ньютона	]
	[	Комплексные числа помогают решить задачу	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

а) Докажите равенство

б) Вычислите суммы

Прислать комментарий

Решение

Задача 61286

Темы:	[	Суммы числовых последовательностей и ряды разностей	]
Темы:	[	Тригонометрия (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 10,11

Последовательность чисел {h_n} задана условиями:

h₁ = $\displaystyle {\textstyle\dfrac{1}{2}}$ , h_{n + 1} = $\displaystyle \sqrt{\dfrac{1-\sqrt{1-h_n^2}}2}$ (n $\displaystyle \geqslant$ 1).

Докажите неравенство $\sum\limits_{k=1}^{\infty}$ h_k < 1, 03.

Прислать комментарий

Решение

Задача 61300

Тема:

[

Рекуррентные соотношения (прочее)

]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Пусть a и k > 0 произвольные числа. Определим последовательность {a_n} равенствами

a₀ = a, a_{n + 1} = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ $\displaystyle \left(\vphantom{a_n+\frac{k}{a_n}}\right.$ a_n + $\displaystyle {\frac{k}{a_n}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{a_n+\frac{k}{a_n}}\right)$ (n $\displaystyle \geqslant$ 0).

Докажите, что при любом неотрицательном n выполняется равенство

$\displaystyle {\frac{a_n-\sqrt k}{a_n+\sqrt k}}$ = $\displaystyle \left(\vphantom{\frac{a-\sqrt k}{a+\sqrt k}}\right.$ $\displaystyle {\frac{a-\sqrt k}{a+\sqrt k}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\frac{a-\sqrt k}{a+\sqrt k}}\right)^{2^n}_{}$ .

Прислать комментарий

Решение

Задача 61301

Тема:

[

Рекуррентные соотношения (прочее)

]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Зафиксируем числа a₀ и a₁. Построим последовательность {a_n} в которой

a_{n + 1} = $\displaystyle {\frac{a_n+a_{n-1}}{2}}$ (n $\displaystyle \geqslant$ 1).

Выразите a_n через a₀, a₁ и n.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 45 46 47 48 49 50 51 >> [Всего задач: 704]