ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 77]      



Задача 67027

Темы:   [ Последовательности (прочее) ]
[ Разбиения на пары и группы; биекции ]
[ Сочетания и размещения ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Андрей Михайлович выписал на доску все возможные последовательности длины $2022$, состоящие из 1011 нулей и 1011 единиц. Назовём две последовательности совместимыми, если они совпадают ровно в 4 позициях. Докажите, что Андрей Михайлович может разбить все последовательности на 20 групп так, чтобы никакие две совместимые последовательности не попали в одну группу.
Прислать комментарий     Решение


Задача 78568

Темы:   [ Последовательности (прочее) ]
[ Принцип крайнего (прочее) ]
[ Свойства модуля. Неравенство треугольника ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Дана последовательность ..., a-n,..., a-1, a0, a1,..., an,... бесконечная в обе стороны, причём каждый её член равен $ {\frac{1}{4}}$ суммы двух соседних. Доказать, что если какие-то два её члена равны, то в ней есть бесконечное число пар равных между собой чисел. (Пояснение: два члена, про которые известно, что они равны, не обязательно соседние).
Прислать комментарий     Решение


Задача 79464

Темы:   [ Последовательности (прочее) ]
[ НОД и НОК. Взаимная простота ]
Сложность: 4
Классы: 11

В некотором царстве, в некотором государстве было выпущено неограниченное количество монет достоинством в n1, n2, n3, ... копеек, где
n1 < n < 2 < n3 < ...  – бесконечная последовательность, состоящая из натуральных чисел. Докажите, что эту последовательность можно оборвать, то есть найдётся такое число N, что любую сумму, которую можно уплатить без сдачи выпущенными монетами, на самом деле можно уплатить только монетами достоинством в n1, n2, ..., nN копеек.

Прислать комментарий     Решение

Задача 98458

Темы:   [ Последовательности (прочее) ]
[ Процессы и операции ]
[ Десятичная система счисления ]
[ Доказательство от противного ]
Сложность: 4
Классы: 8,9

Неутомимые Фома и Ерёма строят последовательность. Сначала в последовательности одно натуральное число. Затем они по очереди выписывают следующие числа: Фома получает очередное число, прибавляя к предыдущему любую из его цифр, а Ерёма – вычитая из предыдущего любую из его цифр. Докажите, что какое-то число в этой последовательности повторится не меньше 100 раз.

Прислать комментарий     Решение

Задача 98602

Темы:   [ Последовательности (прочее) ]
[ НОД и НОК. Взаимная простота ]
[ Принцип Дирихле (прочее) ]
[ Четность и нечетность ]
Сложность: 4
Классы: 10,11

Рассмотрим последовательность, первые два члена которой равны 1 и 2 соответственно, а каждый следующий член – это наименьшее натуральное число, которое еще не встретилось в последовательности и которое не взаимно просто с предыдущим членом последовательности. Докажите, что каждое натуральное число входит в эту последовательность.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 77]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .