Каталог по темам

Задачи

Страница: << 10 11 12 13 14 15 16 >> [Всего задач: 210]

Задача 61200

Тема:

[

Тригонометрия (прочее)

]

Сложность: 3+
Классы: 9,10

Докажите равенство:

cos $\displaystyle {\frac{\pi}{15}}$ cos $\displaystyle {\frac{2\pi}{15}}$ cos $\displaystyle {\frac{3\pi}{15}}$ cos $\displaystyle {\frac{4\pi}{15}}$ cos $\displaystyle {\frac{5\pi}{15}}$ cos $\displaystyle {\frac{6\pi}{15}}$ cos $\displaystyle {\frac{7\pi}{15}}$ = $\displaystyle \left(\vphantom{\frac{1}{2}}\right.$ $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\frac{1}{2}}\right)^{7}_{}$ .

Прислать комментарий

Решение

Задача 61212

Тема:

[

Тождественные преобразования (тригонометрия)

]

Сложность: 3+
Классы: 9,10

Докажите, что если $\alpha$ + $\beta$ + $\gamma$ = $\pi$ , то

sin $\displaystyle \alpha$ + sin $\displaystyle \beta$ + sin $\displaystyle \gamma$ = 4 cos $\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$ cos $\displaystyle {\frac{\beta}{2}}$ cos $\displaystyle {\frac{\gamma}{2}}$ .

Прислать комментарий

Решение

Задача 61218

Тема:

[

Тождественные преобразования (тригонометрия)

]

Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

Докажите, что если сумма

a₁cos( $\displaystyle \alpha_{1}^{}$ + x) + a₂cos( $\displaystyle \alpha_{2}^{}$ + x) +...+ a_ncos( $\displaystyle \alpha_{n}^{}$ + x)

при x = 0 и x = x₁ $\ne$ k $\pi$ (k — целое) обращается в ноль, то она равна нулю при всех x.

Прислать комментарий

Решение

Задача 61247

Темы:	[	Тождественные преобразования (тригонометрия)	]
Темы:	[	Теоремы синусов и косинусов для трехгранных углов	]

Сложность: 3+
Классы: 10,11

Теорема синусов и первая теорема косинусов для трехгранного угла. Пусть имеется трехгранный угол с плоскими углами $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ и противолежащими им двугранными углами A, B, C. Для него справедлива теорема синусов (8.7 ) и две теоремы косинусов (8.6 ), (8.8) (смотрите ниже). После того, как одна из этих теорем доказана, другие могут быть получены путем алгебраических преобразований. Отвлечемся от геометрической природы задачи и предположим, что просто даны равенства

cos $\displaystyle \alpha$ = cos $\displaystyle \beta$ cos $\displaystyle \gamma$ + sin $\displaystyle \beta$ sin $\displaystyle \gamma$ cos A,

cos $\displaystyle \beta$ = cos $\displaystyle \alpha$ cos $\displaystyle \gamma$ + sin $\displaystyle \alpha$ sin $\displaystyle \gamma$ cos B,

cos $\displaystyle \gamma$ = cos $\displaystyle \alpha$ cos $\displaystyle \beta$ + sin $\displaystyle \alpha$ sin $\displaystyle \beta$ cos C,

(8.6)

и, кроме того, величины $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ и A, B, C заключены между 0 и $\pi$ . Докажите, что

$\displaystyle {\frac{\sin A}{\sin \alpha}}$ = $\displaystyle {\frac{\sin B}{\sin \beta}}$ = $\displaystyle {\frac{\sin C}{\sin \gamma}}$ .

(8.7)

Прислать комментарий

Решение

Задача 61293

Тема:

[

Системы тригонометрических уравнений и неравенств

]

Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

Решите систему:
$\left\{\vphantom{ \begin{array}{rcl} \hbox{\rm tg\ }x\cdot\hbox{\rm tg\ }z&=... ...box{\rm tg\ }y\cdot\hbox{\rm tg\ }z&=&6,\\ x+y+z&=&\pi. \end{array} }\right.$ $\begin{array}{rcl} \hbox{\rm tg\ }x\cdot\hbox{\rm tg\ }z&=&3,\\ \hbox{\rm tg\ }y\cdot\hbox{\rm tg\ }z&=&6,\\ x+y+z&=&\pi. \end{array}$

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 10 11 12 13 14 15 16 >> [Всего задач: 210]