Страница: << 73 74 75 76 77 78 79 >> [Всего задач: 750]
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11
|
Город представляет из себя клетчатый прямоугольник, в каждой клетке стоит пятиэтажный дом. Закон о реновации позволяет выбрать две соседних по стороне клетки, в которых стоят дома, и снести тот дом, где меньше этажей (либо столько же). При этом над вторым домом надстраивается столько этажей, сколько было в снесённом доме. Какое наименьшее число домов можно оставить в городе, пользуясь законом о реновации, если город имеет размеры
а) 20×20 клеток;
б) 50×90 клеток?
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11
|
Кусок сыра надо разрезать на части с соблюдением таких правил:
вначале режем сыр на два куска, затем один из них режем на два куска, затем один из трёх кусков опять режем на два куска, и т.д.;
после каждого разрезания части могут быть разными по весу, но отношение веса каждой части к весу любой другой должно быть строго больше заданного числа R.
а) Докажите, что при R = 0,5 можно резать сыр так, что процесс никогда не остановится (после любого числа разрезаний можно будет отрезать ещё один кусок).
б) Докажите, что если R > 0,5, то процесс резки когда-нибудь остановится.
в) На какое наибольшее число кусков можно разрезать сыр, если R = 0,6?
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 7,8,9
|
Робин Гуд взял в плен семерых богачей и
потребовал выкуп. Слуга каждого богача принёс кошелёк
с золотом, и все они выстроились в очередь перед шатром,
чтобы отдать выкуп. Каждый заходящий в шатер слуга
кладёт принесённый им кошелёк на стол в центре шатра и,
если такого или большего по тяжести кошелька ранее никто не приносил, богача отпускают вместе со слугой. Иначе слуге велят принести ещё один кошелёк, который был
бы тяжелее всех, лежащих в этот момент на столе. Сходив
за очередным кошельком, слуга становится в конец очереди. Походы за кошельками занимают у всех одинаковое
время, поэтому очерёдность захода в шатёр не сбивается.
Когда Робин Гуд отпустил всех пленников, у него на столе
оказалось: а) 28; б) 27 кошельков. Каким по счёту стоял
в исходной очереди слуга богача, которого отпустили последним?
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11
|
Карлсон ест треугольный торт. Он режет торт по биссектрисе одного из углов, съедает одну из частей, а с другой повторяет ту же операцию. Если Карлсон съест больше половины торта, он станет не в меру упитанным мужчиной в самом расцвете сил.
Докажите, что рано или поздно это произойдёт.
В ряд лежат 100 монет, часть – вверх орлом, а остальные – вверх решкой. За одну операцию разрешается выбрать семь монет, лежащих через равные промежутки (т.е. семь монет, лежащих подряд, или семь монет, лежащих через одну, и т.д.), и все семь монет перевернуть. Докажите, что при помощи таких операций можно все монеты положить вверх орлом.
Страница: << 73 74 75 76 77 78 79 >> [Всего задач: 750]
Фильтр
