Страница:
<< 133 134 135 136
137 138 139 >> [Всего задач: 779]
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 9,10,11
|
Андрей и Борис играют в следующую игру. Изначально на числовой
прямой в точке
p стоит робот. Сначала Андрей говорит расстояние,
на которое должен сместиться робот. Потом Борис выбирает
направление, в котором робот смещается на это расстояние, и т.д. При каких
p Андрей может добиться того, что за конечное
число ходов робот попадет в одну из точек 0 или 1 вне
зависимости от действий Бориса?
На дверце сейфа написано произведение степеней
anbmck. Чтобы дверца открылась, надо заменить каждую из шести букв натуральным числом так, чтобы в произведении получился куб натурального числа. Пинки, не подумав, уже заменил какие-то три буквы числами. Всегда ли Брейн сможет заменить три оставшиеся, чтобы дверца открылась?
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11
|
Одиннадцати мудрецам завязывают глаза и надевают каждому на голову колпак одного из 1000 цветов. После этого им глаза развязывают, и каждый видит все колпаки, кроме своего. Затем одновременно каждый показывает остальным одну из двух карточек – белую или чёрную. После этого все должны одновременно назвать цвет своих колпаков. Удастся ли это? Мудрецы могут заранее договориться о своих действиях (до того, как им завязали глаза); мудрецам известно, каких 1000 цветов могут быть колпаки.
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10,11
|
Император пригласил на праздник 2015 волшебников, добрых и злых, при этом волшебники знают, кто добрый и кто злой, а император – нет. Добрый волшебник всегда говорит правду, а злой говорит что угодно. На празднике император сначала выдаёт каждому волшебнику по бумажке с вопросом (требующим ответа "да" или "нет"), затем волшебники отвечают, и после всех ответов император одного изгоняет. Волшебник выходит в заколдованную дверь, и император узнаёт, добрый он был или злой. После этого император вновь выдаёт каждому из оставшихся волшебников по бумажке с вопросом, вновь одного изгоняет, и так далее, пока император не решит остановиться (это возможно после любого из ответов, и после остановки можно никого не изгонять). Докажите, что император может изгнать всех злых волшебников, удалив при этом не более одного доброго.
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11
|
а) В таблице m×n расставлены знаки "+" и "–". За один ход разрешается поменять знаки на противоположные в любой строке или столбце. Докажите, что если таблица такими действиями не приводится к таблице из одних плюсов, то в ней есть квадрат 2×2, который тоже не приводится.
б) В таблице m×n расставлены знаки "+" и "–". За один ход разрешается поменять знаки на противоположные в любой строке или столбце или на любой диагонали (угловые клетки тоже считаются диагоналями). Докажите, что если таблица такими действиями не приводится к таблице из одних плюсов, то в ней есть квадрат 4×4, который тоже не приводится.
Страница:
<< 133 134 135 136
137 138 139 >> [Всего задач: 779]
Фильтр
