Страница:
<< 13 14 15 16 17 18 19 >> [Всего задач: 285]
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9,10
|
а) Имеются две веревки. Если любую из них
поджечь с одного конца, то она сгорит за час. Веревки горят
неравномерно. Например, нельзя гарантировать, что половина
веревки сгорает за 30 минут. Как, имея две такие веревки,
отмерить промежуток времени в 15 минут?
б) Сколько промежутков времени (считая нулевой) можно отмерить,
имея три такие веревки?
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11
|
Спортпрогноз. Предположим, что
ожидается баскетбольный матч между двумя командами
A и
B, в
котором возможно только два исхода: одна из команд выигрывает. Две
букмекерские конторы принимают ставки с разными коэффициентами
kA(1),
kB(1),
kA(2),
kB(2). Например,
если игрок сделал ставку
N в первой конторе на команду
A, и
эта команда выиграла, то игрок получает сумму
kA(1) . N.
Пусть
kA(1) = 2,
kB(1) =
,
kA(2) =
,
kB(2) = 3.
Как, имея капитал
N, распорядиться им оптимальным образом, то
есть как сделать ставки в двух конторах, чтобы получить
максимальный
гарантированный выигрыш?
Проанализируйте случай произвольных коэффициентов
kA(1),
kB(1),
kA(2),
kB(2) и найдите связь между
максимальным
гарантированным выигрышем и средним
гармоническим наибольших коэффициентов.
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11
|
В комнате находится несколько детей и куча из 1000 конфет. Дети по очереди подходят к куче. Каждый подошедший делит количество конфет в куче на количество детей в комнате, округляет (если получилось нецелое), забирает полученное число конфет и выходит из комнаты. При этом мальчики округляют вверх, а девочки – вниз. Докажите, что суммарное количество конфет у мальчиков, когда все выйдут из комнаты, не зависит от порядка детей в очереди.
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9,10
|
В центре каждой клетки клетчатого прямоугольника $M$ расположена точечная лампочка, изначально все они погашены.
За ход разрешается провести любую прямую, не задевающую лампочек, и зажечь все лампочки по какую-то одну сторону от этой прямой, если все они погашены.
Каждым ходом должна зажигаться хотя бы одна лампочка. Требуется зажечь все лампочки, сделав как можно больше ходов. Какое максимальное число ходов удастся сделать, если
а) $M$ – квадрат $21\times21$;
б) $M$ – прямоугольник $20\times21$?
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11
|
16 карточек с целыми числами от 1 до 16 разложены лицевой стороной вниз в виде таблицы $4\times4$ так, что карточки, на которых записаны соседние числа, лежат рядом (соприкасаются по стороне). Какое наименьшее число карточек нужно одновременно перевернуть, чтобы наверняка определить местоположение всех чисел (как бы ни были разложены карточки)?
Страница:
<< 13 14 15 16 17 18 19 >> [Всего задач: 285]
Фильтр
