Фильтр
Задачи
Задача 65310 |
|
|
В автобусе n мест, и все билеты проданы n пассажирам. Первым в автобус заходит Рассеянный Учёный и, не посмотрев на билет, занимает первое попавшееся место. Далее пассажиры входят по одному. Если вошедший видит, что его место свободно, он занимает свое место. Если же место занято, то вошедший занимает первое попавшееся свободное место. Найдите вероятность того, что пассажир, вошедший последним, займет место согласно своему билету?
Решение
Пронумеруем всех пассажиров, начиная с Учёного, в том порядке, в каком они заходили в автобус. Последний пассажир имеет номер n. Для простоты места пронумеруем так же. Пусть все, кроме последнего пассажира, уже вошли и заняли места. Осталось одно свободное место. Если бы это было второе место, то второй пассажир (или Учёный) уже занял бы его. То же верно для мест номерами 3, 4, 5, ..., n – 1. Значит, это место принадлежит либо последнему пассажиру, либо Рассеянному Учёному.
Ясно, что оно с равными шансами может принадлежать как первому, так и последнему. В первом случае последний пассажир сядет не на своё место, а во втором – на своё. Значит, вероятности обоих событий равны ½.
Ответ
½.
|
|
Задача 65326 |
|
|
Рассеянный Ученый в своей лаборатории вывел одноклеточный организм, который с вероятностью 0,6 делится на два таких же организма, а с вероятностью 0,4 погибает, не оставив потомства. Найдите вероятность того, что через некоторое время у Рассеянного Ученого не останется ни одного такого организма.
Решение
Неважно, какое время будет затрачено. Поэтому для простоты будем
считать, что организмы делятся или погибают каждую секунду, но строго по одному. Когда с одним из них что-то происходит, остальные терпеливо ждут своей очереди. Сделав такое предположение, мы получаем стандартную задачу случайного блуждания: каждую секунду организмов становится либо на один больше (с вероятностью p = 0,6), либо на один меньше (с вероятностью q = 0,4), чем было.
Число организмов в некоторый момент будем называть состоянием популяции. Пусть x – вероятность того, что за несколько шагов число организмов уменьшится на 1.
Вначале популяция находится в состоянии 1, и нас интересует вероятность перехода 1 → 0, то есть как раз значение x.
Популяция может прийти в состояние 0 двумя способами.
1) В первую секунду единственный имеющийся организм погибает. Вероятность этого q.
2) В первую секунду единственный организм делится, и популяция переходит в состояние 2. Вероятность этого события p. Дальнейший переход
2 → 0 имеет вероятность x², поскольку он состоит из двух независимых переходов 2 → 1 и 1 →
0, каждый из которых имеет вероятность x.
Отсюда x = 1 или x = q/p. Нужно выяснить, какой из корней посторонний. Рассмотрим x как функцию от p. Изобразив в системе координат pOx линии x(p) = 1 и x(p) = 1–p/p, воспользуемся следующими соображениями.
1) Функция x(p) непрерывна.
2) x(p) ≤ 1.
3) x(1) = 0 – если организмы не погибают, а только делятся, то популяция с достоверностью не погибнет никогда.
Этим трём условиям, удовлетворяет функция
Ответ
⅔.
|
|
|
Задача 65327 |
|
|
Илья Муромец встречает трёхголового Змея Горыныча. И начинается битва. Каждую минуту Илья отрубает Змею одну голову. С вероятностью ¼ на месте срубленной головы вырастает две новых, с вероятностью ⅓ – только одна новая голова и с вероятностью 5/12 – ни одной головы. Змей считается побеждённым, если у него не осталось ни одной головы. Найдите вероятность того, что рано или поздно Илья победит Змея.
Решение
Удары Ильи Муромца, при которых число голов меняется, назовём успешными.
Найдём вероятность того, что когда-нибудь наступит последний успешный удар. Это значит, что начиная с этого, успешных ударов больше не случится, то есть все удары будут безуспешными. Вероятность этого равна ⅓·⅓·⅓·... = 0.
Таким образом, последнего успешного удара не будет, а будет бесконечная
подпоследовательность успешных ударов, которую мы и будем рассматривать, игнорируя все остальные удары.
Вероятность успешного удара равна ⅔. Условная вероятность того, что при успешном ударе число голов увеличилось, равна ¼ : ⅔ = 3/8.
Аналогично, условная вероятность того, что при успешном ударе голов стало меньше, равна 5/12 : ⅔ = 5/8.
Возникает стандартная задача одномерного случайного блуждания.
Предположим, что в результате некоторой серии успешных ударов число голов Змея стало на одну меньше, чем было. Назовём это событие D, а его вероятность обозначим x.
Есть две возможности.
1) В результате первого успешного удара голов стало на одну меньше (событие M, вероятность 5/8). В этом случае событие D уже произошло – его условная вероятность равна 1.
2) В результате первого успешного удара голов становится больше на одну (событие N, вероятность 3/8). В этом случае событие D наступит, только если число голов уменьшится на 2 – на одну, а потом еще на одну. Поэтому условная вероятность события D в этом случае равна x².
По формуле полной вероятности x = P(D) = P(D|M)·P(M) + P(D|N)·P(N) = 5/8 + 3/8 x².
Отсюда x = 1 или x = 5/3. Второй корень посторонний. Значит, событие D
достоверно.
Таким образом, рано или поздно число голов обязательно уменьшится с трёх до двух. Затем, по той же причине, число голов уменьшится до одной и, наконец, станет равно нулю. У Змея нет шансов.
Ответ
1.
|
|
|
Задача 65338 |
|
|
В игре "Что? Где? Когда?" разыгрываются 13 конвертов с вопросами от телезрителей. Конверты выбираются по очереди в случайном порядке с помощью волчка. Если знатоки отвечают верно, зарабатывают очко, если неверно – одно очко достается телезрителям. Игра оканчивается, как только одна из команд набрала 6 очков. Предположим, что силы команд Знатоков и Телезрителей равны.
а) Найдите математическое ожидание числа очков, набранных командой
Знатоков за 100 игр.
б) Найдите вероятность того, что в следующей игре конверт №5 будет разыгран.
Решение
а) Предположим, что за одну игру проигравшая команда заработала
kочков. Выигравшая команда заработала 6 очков, поэтому всего было разыграно
6 + k конвертов. При этом за вопрос из последнего конверта очко обязательно получила выигравшая команда, а за остальные 5 + k вопросов очки могла получить как та, так и другая команда с вероятностью ½. Поэтому математическое ожидание случайной величины
X "число очков, заработанных проигравшей командой за одну игру" равно
Заметим, что , в частности,
. Поэтому
.
В первой скобке – сумма вероятностей того, что при игре до 7 побед
проигравшая команда заработает k – 1 очко (1 ≤
k ≤ 7); она равна 1. Следовательно,
Прибавляем 6, чтобы получить общую сумму очков (заработанных обеими командами), делим на два, чтобы получить только ожидание суммы очков знатоков (ведь силы равны): . Теперь осталось умножить результат на 100, поскольку прошло 100 игр.
б) Введём индикаторы ξk, 1 ≤
k ≤ 13: ξk = 1, если конверт с номером k был разыгран, и 0 в противном случае.
Заметим, что сумма очков, заработанных обеими командами за одну игру, равна сумме всех ξk. Ожидание суммы очков, заработанных обеими командами, известно из а): . Все конверты равноправны, поэтому найденное число делим на 13:
. Но Eξk
– это и есть вероятность розыгрыша k-го конверта.
Ответ
а) ;
б)
.
|
|
|
Задача 65342 |
|
|
На сушке в случайном порядке (как достали из стиральной машины) висит n носков. Среди них – два любимых носка Рассеянного Учёного. Носки загорожены сохнущей простыней, поэтому Учёный их не видит, и достаёт по одному носку на ощупь. Найдите математическое ожидание числа носков, снятых Учёным к моменту, когда у него окажутся оба любимых носка.
Решение
Удобно составить треугольную таблицу. Закрашенные ячейки соответствуют парам любимых носков. Например, пара (2, 4), помеченная знаком "Х", соответствует случаю, когда первый любимый носок попался вторым, а второй – четвёртым по счету. Все пары равновозможны, а общее
их число равно .
Следовательно,
Ответ
⅔ (n + 1).
|
|
|
Страница: << 16 17 18 19 20 21 22 >> [Всего задач: 107]
