Страница: << 6 7 8 9 10 11 12 >> [Всего задач: 60]      

Прямоугольная шоколадка размером 5×10 разбита продольными и поперечными углублениями на 50 квадратных долек. Двое играют в такую игру. Начинающий разламывает шоколадку по некоторому углублению на две прямоугольные части и кладёт на стол полученные части. Затем игроки по очереди делают аналогичные операции: каждый раз очередной игрок разламывает одну из частей на две части. Тот, кто первый отломит квадратную дольку (без углублений), а) проигрывает; б) выигрывает. Кто из играющих может обеспечить себе выигрыш: начинающий или его партнёр?

Решение

В обоих вариантах игры побеждает начинающий. Это справедливо и для любой шоколадки из mn долек (размером m×n), где mn четно (за исключением случая шоколадки 2×n с нечетным n в варианте б) — здесь ответ зависит от mn.)

Мы рассмотрим сразу общий случай. Интересно, что выигрышные стратегии в "противоположных"; вариантах а) и б) почти совпадают.

а) Стратегия, обеспечивающая выигрыш начинающему, такова. Хотя бы одно из чисел m и n четно – пусть это будет m (m=2k). Первым ходом начинающий разламывает шоколадку на две одинаковые половины (по n×k долек). Затем каждый ход второго он дублирует на другой половине шоколадки. Таким образом, после каждого хода первого игрока обе половины будут разломаны совершенно одинаковым образом. Ясно, что при этом первый не отломит дольку 1×1 раньше, чем это сделает второй.

б) Здесь при четном m>2 и n>1 начинающий может использовать ту же "симметричную" стратегию до тех пор, пока второй не отломит полоску шириной 1; первый тут же отламывает он нее дольку 1×1 и выигрывает.
В варианте б) игры "симметричная" стратегия для шоколадки 2×n не годится – отламывать полоску шириной 1 нельзя (это немедленно ведет к проигрышу), так что шоколадку можно ломать только "поперек". Возникает совсем другая задача, более сложная задача, подробное исследование которой предоставляется читателю.

Ответ для нечетного mn в общем случае нам неизвестен ни для варианта а), ни для варианта б) игры.

Ответ

В обоих вариантах игры побеждает начинающий.

Прислать комментарий

Петя и Вася играют в такую игру. Сначала на столе лежит 11 кучек по 10 камней. Игроки ходят по очереди, начинает Петя. Каждым ходом игрок берёт 1, 2 или 3 камня, но Петя каждый раз выбирает все камни из любой одной кучки, а Вася всегда выбирает все камни из разных кучек (если их больше одного). Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто из игроков может обеспечить себе победу, как бы ни играл его соперник?

Решение

  Расположим камни как показано на рисунке, где кучки соответствуют столбцам.

  Петя должен брать несколько камней из одного столбца, а Вася – из разных. Стратегия Васи – делать ходы, симметричные Петиным относительно пустой диагонали. Изначально картинка симметрична. Поскольку строка, симметричная столбцу, не имеет с ним общих камней, то Вася каждый раз сможет восстанавливать нарушенную симметрию, то есть у него всегда есть ход. Так как игра конечна, то когда-то Петя проиграет.

Ответ

Вася.

Прислать комментарий

Петя и Вася выписывают 12-значное число, ставя цифры по очереди, начиная со старшего разряда. Начинает Петя.

Докажите, что какие бы цифры он не писал, Вася всегда сможет добиться, чтобы получившееся число делилось на 9.

Решение

Число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9. Поэтому одна из возможных стратегий для Васи – дополнять на каждом ходу Петину цифру до 9. То есть, если Петя пишет 0, то Вася пишет 9, если Петя пишет 1, то Вася пишет 8 и т.д. Таким образом, после каждой пары ходов Пети и Васи сумма цифр будет увеличиваться на 9. К моменту написания всего числа она станет равной  9·6 = 54.

Прислать комментарий

Игра с «доминошками». Дана клетчатая доска 10×10. За ход разрешается покрыть любые две соседние клетки доминошкой (прямоугольником размером 1×2) так, чтобы доминошки не перекрывались. Проигрывает тот, кто не может сделать ход.

Решение

Второй делает ходы симметричные ходам первого относительно центра доски, и выигрывает.

Прислать комментарий

Двое игроков поочередно выкладывают на прямоугольный стол пятаки. Монету разрешается класть только на свободное место. Проигрывает тот, кто не может сделать очередной ход. Докажите, что первый игрок всегда может выиграть.

Решение

Первый игрок кладет пятак в центр стола, а затем кладет пятаки симметрично пятакам второго игрока относительно центра стола. При такой стратегии первый игрок всегда имеет возможность сделать очередной ход. Ясно также, что игра завершится за конечное число ходов.

Прислать комментарий

Страница: << 6 7 8 9 10 11 12 >> [Всего задач: 60]