Страница:
<< 39 40 41 42
43 44 45 >> [Всего задач: 370]
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11
|
Ваня задумал два положительных числа x и y. Он записал числа x + y, x – y, xy и x/y и показал их Пете, но не сказал, какое число какой операцией получено. Докажите, что Петя сможет однозначно восстановить x и y.
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11
|
Фирма записала свои расходы в рублях по 100 статьям бюджета, получив список из 100 чисел (у каждого числа не более двух знаков после запятой). Каждый счетовод взял копию списка и нашёл приближённую сумму расходов, действуя следующим образом. Вначале он произвольно выбрал из списка два числа, сложил их, отбросил у суммы знаки после запятой (если они были) и записал результат вместо выбранных двух чисел. С полученным списком из 99 чисел он проделал то же самое, и так далее, пока в списке не осталось одно целое число. Оказалось, что в итоге все счетоводы получили разные результаты. Какое наибольшее число счетоводов могло работать в фирме?
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 9,10
|
Дан кубический многочлен f(x). Назовём циклом такую тройку различных чисел (a, b, c), что f(a) = b, f(b) = c и f(c) = a. Известно, что нашлись восемь циклов (ai, bi, ci), i = 1, 2, ..., 8, в которых участвуют 24 различных числа. Докажите, что среди восьми чисел вида ai + bi + ci есть хотя бы три различных.
Некоторые клетки белого прямоугольника размером 3×7 произвольным образом покрасили в чёрный цвет. Докажите, что обязательно найдутся четыре клетки одного цвета, центры которых являются вершинами некоторого прямоугольника со сторонами, параллельными сторонам исходного прямоугольника.
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11
|
Паша выбрал 2017 (не обязательно различных) натуральных чисел a1, a2, ..., a2017 и играет сам с собой в следующую игру. Изначально у него есть неограниченный запас камней и 2017 больших пустых коробок. За один ход Паша добавляет в любую коробку (по своему выбору) a1 камней, в любую из оставшихся коробок (по своему выбору) – a2 камней, ..., наконец, в оставшуюся коробку – a2017 камней. Пашина цель – добиться того, чтобы после некоторого хода во всех коробках стало поровну камней. Мог ли он выбрать числа так, чтобы цели можно было добиться за 43 хода, но нельзя – за меньшее ненулевое число ходов?
Страница:
<< 39 40 41 42
43 44 45 >> [Всего задач: 370]
Фильтр
