Страница:
<< 1 2 3
4 5 6 7 >> [Всего задач: 60]
|
|
Сложность: 4 Классы: 9,10,11
|
На плоскости дан невыпуклый n-угольник
с попарно непараллельными сторонами. Пусть A и B - две несоседние
вершины n-угольника,
разделяющие его контур на две ломаные AXY...B и BZT...A.
Разрешается отразить одну из этих ломаных относительно середины
отрезка AB.
При этом получится новый многоугольник (а если не получится, то такая операция не разрешена).
Докажите, что с помощью таких действий можно получить выпуклый многоугольник.
|
|
Сложность: 4+ Классы: 7,8,9,10
|
На плоскости расположено
[
n]
прямоугольников со
сторонами, параллельными осям координат. Известно, что любой прямоугольник
пересекается хотя бы с
n прямоугольниками. Доказать, что найдется
прямоугольник, пересекающийся со всеми прямоугольниками.
|
|
Сложность: 4+ Классы: 9,10,11
|
На плоскости дано
N точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Если
A,
B,
C — любые три из них, то внутри
треугольника
ABC нет ни одной точки из данных. Доказать, что эти точки можно
занумеровать так, что многоугольник
A1A2...
An будет выпуклым.
Даны два треугольника:
ABC и
DEF и точка
O. Берется любая
точка
X в
ABC и любая точка
Y в
DEF; треугольник
OXY
достаивается до параллелограмма
OXZY.
а) Докажите, что все полученные таким образом точки образуют многоугольник.
б) Сколько сторон он может иметь?
в) Докажите, что его периметр равен сумме периметров исходных треугольников.
|
|
Сложность: 5- Классы: 9,10,11
|
Контуры выпуклых многоугольников F и G не имеют общих точек, причём G расположен внутри F. Хорду многоугольника F – отрезок, соединяющий две точки контура F, назовём опорной для G, если она пересекается с G только по точкам контура: содержит либо только вершину, либо сторону G.
а) Докажите, что найдётся опорная хорда, середина которой принадлежит контуру G.
б) Докажите, что найдутся две такие хорды.
Страница:
<< 1 2 3
4 5 6 7 >> [Всего задач: 60]