Страница: << 1 2 3 4 >> [Всего задач: 17]
|
|
|
Сложность: 6+
Классы: 9,10
|
а) Дан выпуклый многоугольник. Известно, что для любых трёх его сторон можно
выбрать точку O внутри многоугольника так, что перпендикуляры, опущенные из
точки O на эти три стороны, попадают на сами стороны, а не на их продолжения.
Докажите, что тогда такую точку O можно выбрать для всех сторон одновременно.
б) Докажите, что в случае выпуклого четырёхугольника такую точку O можно
выбрать, если её можно выбрать для любых двух сторон.
|
|
|
Сложность: 6+
Классы: 9,10
|
Докажите, что внутри любого выпуклого семиугольника есть точка,
не принадлежащая ни одному из четырехугольников, образованных
четверками его соседних вершин.
|
|
|
Сложность: 6+
Классы: 9,10
|
Дано несколько параллельных отрезков, причем
для любых трех из них найдется прямая, их пересекающая.
Докажите, что найдется прямая, пересекающая все отрезки.
а) Докажите, что среди всех выпуклых четырёхугольников с данными углами и
данным периметром наибольшую площадь имеет описанный четырёхугольник.
б) Докажите, что среди всех выпуклых n-угольников
A1...An с данными
величинами углов Ai и данным периметром наибольшую площадь имеет описанный
n-угольник.
Докажите, что площадь круга больше площади любой другой фигуры того же
периметра. Другими словами, если площадь фигуры равна S, а её периметр равен
P, то
S
P2/4
, причём равенство достигается только в случае круга
(изопериметрическое неравенство).
Страница: << 1 2 3 4 >> [Всего задач: 17]
Фильтр
