Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 39]
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10
|
На прямой выбрано 100 множеств
A1, A2, .. , A100 , каждое из которых является объединением 100
попарно непересекающихся отрезков.
Докажите, что пересечение множеств A1, A2, .. , A100
является объединением не более 9901 попарно непересекающихся отрезков
(точка также считается отрезком).
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 7,8,9
|
Точка O, лежащая внутри выпуклого многоугольника
A1...An,
обладает тем свойством, что любая прямая OAi содержит еще одну
вершину Aj. Докажите, что кроме точки O никакая другая точка
не обладает этим свойством.
|
|
|
Сложность: 5+
Классы: 7,8,9
|
На окружности отметили 4n точек и окрасили их
через одну в красный и синий цвета. Точки каждого цвета
разбили на пары, а точки каждой пары соединили отрезками
того же цвета. Докажите, что если никакие три отрезка не
пересекаются в одной точке, то найдется по крайней мере n
точек пересечения красных отрезков с синими.
|
|
|
Сложность: 5+
Классы: 7,8,9
|
На плоскости расположено n
5 окружностей так,
что любые три из них имеют общую точку. Докажите, что
тогда и все окружности имеют общую точку.
|
|
|
Сложность: 6+
Классы: 8,9,10
|
На прямой дано 50 отрезков. Докажите, что верно хотя бы одно из следующих утверждений:
- некоторые 8 из этих отрезков имеют общую точку;
- некоторые 8 из этих отрезков таковы, что никакие два из них не пересекаются.
Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 39]
Фильтр
