Каталог по темам

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 44]

Задача 32070

Темы:	[	Обратный ход	]
	[	Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле.	]
	[	Правильный (равносторонний) треугольник	]
	[	Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства	]

Сложность: 4-
Классы: 7,8,9

Точку внутри квадрата соединили с вершинами – получились четыре треугольника, один из которых равнобедренный с углами при основании (стороне квадрата) 15°. Докажите, что противоположный ему треугольник правильный.

Решение

Обозначим наш квадрат ABCD, а данную внутри него точку M. Пусть ∠MDC = ∠MCD = 15°.
Решим обратную задачу. Построим на стороне AB квадрата равносторонний треугольник ABN так, чтобы вершина N лежала внутри квадрата (см. рис.).

Треугольник CNB – равнобедренный. Его угол при вершине B равен 30°, следовательно, угол при основании равен (180° – 30°) : 2 = 75°. Отсюда
∠DCN = 90° – 75° = 15°. Аналогично, ∠CDN = 15°. Значит, точка N лежит на луче CM и на луче DM и, тем самым, совпадает с M.

Прислать комментарий

Задача 78533

Темы:	[	Обратный ход	]
	[	Индукция (прочее)	]
	[	Процессы и операции	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

В n стаканах достаточно большой вместительности налито поровну воды. Разрешается переливать из любого стакана в любой другой столько воды, сколько имеется в этом последнем. При каких n можно в конечное число шагов слить воду в один стакан?

Решение

Ответ: при n=2^k , k – целое. Если n является степенью двойки, то алгоритм переливания легко строится по индукции. Докажим, что при остальных n перелить всю воду в один стакан нельзя. Предположим, что нам удалось перелить всю воду в один стакан. Примем за единицу измерения объема начальный объем воды в каждом стакане. Тогда после любого числа переливаний объем воды в любом стакане будет выражаться целым числом. Обратим наш процесс. Тогда в начальный момент у нас есть n единиц объема воды в одном стакане, а в конечный момент – но одной единице в каждом стакане. Одна операция заключается в переливании из одного стакана половины имеющейся в нем воды в любой из остальных стаканов. Пусть p - любой простой нечетный делитель числа n . В начальный момент количество воды в каждом стакане делится на p , в процессе переливаний это свойство сохраняется. Значит, в конечный момент количество воды в каждом стакане должно делиться на p , то есть 1 делится на p – противоречие.

Ответ

При n=2^k , k – целое.

Прислать комментарий

Задача 78249

Темы:	[	Обратный ход	]
Темы:	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]

Сложность: 4
Классы: 10,11

В автобусе без кондуктора едут 4k пассажиров. У каждого из них есть только монеты в 10, 15, 20 копеек. Доказать, что если общее число монет меньше 5k, то пассажиры не смогут правильно расплатиться за проезд. Для числа монет 5k построить пример, когда возможен правильный расчет. Примечание. Проезд в автобусе стоит 5 копеек.

Решение

Так как проезд в автобусе стоит 5 копеек, а ни у кого из пассажиров, по условию, нет монет мельче 10 копеек, то после оплаты проезда каждый пассажир должен получить сдачу, т. е. после оплаты проезда у каждого на руках должна остаться хотя бы одна монета. Таким образом, после оплаты на руках у пассажиров должно остаться не меньше, чем 4k монет. Вместе с тем стоимость проезда 4k пассажиров составляет 20k копеек, и для её оплаты даже 20-копеечными монетами (самыми крупными из имеющихся) потребовалось бы не меньше, чем k монет. Значит, в кассу автобуса будет опущено не меньше k монет, и общее необходимое количество монет равно 5k. Нам осталось построить пример правильной оплаты проезда при наличии у пассажиров ровно 5k монет. Разобьём пассажиров на k групп по 4 человека и пусть в каждой группе деньги распределены следующим образом:

1-й пассажир: 15 коп.;

2-й пассажир: 10 + 10 коп.;

3-й пассажир: 15 коп.;

4-й пассажир: 20 коп.

(5 монет на каждую группу из 4 человек; всего, значит, 5k монет). Расчёт в группе происходит следующим образом:

1-й получает 10 коп. взамен 15 коп.;

2-й '' 15 коп. '' 20 коп.;

3-й '' 10 коп. '' 15 коп.;

4-й '' 15 коп. '' 20 коп.

В кассу опущено 20 коп. за четырёх пассажиров. (Решение из книги [#!Leman!#].)

Прислать комментарий

Задача 78253

Тема:

[

Обратный ход

]

Сложность: 4
Классы: 10,11

k человек ехали в автобусе без кондуктора, и у всех них были монеты только достоинством в 10, 15, 20 копеек. Известно, что каждый уплатил за проезд и получил сдачу. Доказать, что наименьшее число монет, которое они могли иметь, равно k + $\left[\vphantom{\frac{k+3}{4}}\right.$ ${\frac{k+3}{4}}$ $\left.\vphantom{\frac{k+3}{4}}\right]$ , где значок [a] означает наибольшее целое число, не превосходящее a. Примечание. Проезд в автобусе стоит 5 копеек.

Решение

Для каждой использованной монеты нарисуем стрелку от того человека, у которого она была до выплат, к тому человеку, у которого она оказалась после выплаты (некоторые стрелки будут вести к автомату по оплате). Количество получившихся стрелок равно количеству использованных монет, а значит, достаточно доказать, что проведено не менее k + $\left[\vphantom{\dfrac{k+3}{4} }\right.$ ${\dfrac{k+3}{4}}$ $\left.\vphantom{\dfrac{k+3}{4} }\right]$ стрелок. Поскольку никто не мог заплатить за проезд без сдачи, к каждому человеку ведёт хотя бы одна стрелка (уже k стрелок). Так как одной монетой можно оплатить проезд не более четырёх человек, к автомату ведёт не менее ${\dfrac{k}{4}}$ стрелок. Но наименьшее целое число, не меньшее ${\dfrac{k}{4}}$ , и есть $\left[\vphantom{\dfrac{k+3}{4} }\right.$ ${\dfrac{k+3}{4}}$ $\left.\vphantom{\dfrac{k+3}{4} }\right]$ , а значит, всего проведено не менее k + $\left[\vphantom{\dfrac{k+3}{4} }\right.$ ${\dfrac{k+3}{4}}$ $\left.\vphantom{\dfrac{k+3}{4} }\right]$ стрелок. Замечание. На самом деле, при всех k > 1 эта оценка точная, т. е. указанного в условии количества монет достаточно. Докажем это индукцией по числу k. Сначала проверим базу индукции при k = 2, 3, 4, 5. При k = 2 первый пассажир платит 10 копеек в кассу и 10 копеек второму пассажиру, а второй платит 15 копеек первому. При k = 3 первые двое расплачиваются как в предыдущем примере, но 10 копеек отдают не в кассу а третьему, который кладёт в кассу 15 копеек. При k = 4 первые трое расплачиваются как в предыдущем примере, но 15 копеек отдают четвёртому, который кладёт в кассу 20 копеек. При k = 5 первые двое и остальные трое расплачиваются по отдельности, как это описано в предыдущих примерах. Пусть теперь k $\ge$ 6 и при всех меньших k утверждение доказано. Выделим четырёх пассажиров. Пусть все остальные расплачиваются как в соответствующем примере для k - 4, а выделенные четверо — как в примере для четырёх. Проверка того, что истраченное количество монет будет равно k + $\left[\vphantom{\dfrac{k+3}{4} }\right.$ ${\dfrac{k+3}{4}}$ $\left.\vphantom{\dfrac{k+3}{4} }\right]$ , оставляется читателю в качестве упражнения.

Прислать комментарий

Задача 87936

Темы:	[	Арифметика. Устный счет и т.п.	]
Темы:	[	Обратный ход	]

Сложность: 2
Классы: 5,6,7

Дедка вдвое сильнее Бабки, Бабка втрое сильнее Внучки, Внучка вчетверо сильнее Жучки, Жучка впятеро сильнее Кошки, Кошка вшестеро сильнее Мышки. Дедка, Бабка, Внучка, Жучка и Кошка вместе с Мышкой могут вытащить Репку, а без Мышки — не могут. Сколько надо позвать Мышек, чтобы они смогли сами вытащить Репку?

Подсказка

Скольких Мышек заменяет Кошка? А Внучка?

Решение

Кошка заменяет 6 Мышек. Жучка заменяет 5•6 Мышек. Внучка заменяет 4•5•6 Мышек. Бабка заменяет 3•4•5•6 Мышек. Дедка заменяет 2•3•4•5•6 Мышек. Итого потребуется:
(2•3•4•5•6) + (3•4•5•6) + (4•5•6) + (5•6) + 6 + 1 = 1237 Мышек.

Ответ

1237 Мышек.

Прислать комментарий

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 44]