Страница:
<< 192 193 194 195
196 197 198 >> [Всего задач: 1359]
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 9,10,11
|
Имеется набор гирь, веса которых в граммах: 1, 2, 4,... , 512 (последовательные степени двойки) – по одной гире каждого веса. Груз разрешается взвешивать с помощью этого набора, кладя гири на обе чашки весов.
а) Докажите, что никакой груз нельзя взвесить этими гирями более чем 89 способами.
б) Приведите пример груза, который можно взвесить ровно
89 способами.
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 9,10,11
|
Система укреплений состоит из блиндажей. Некоторые из блиндажей соединены траншеями, причём из каждого блиндажа можно перебежать в какой-нибудь другой. В одном из блиндажей спрятался пехотинец. Пушка может одним выстрелом накрыть любой блиндаж. В каждом промежутке между выстрелами пехотинец обязательно перебегает по одной из траншей в соседний блиндаж (даже если по соседнему блиндажу только что стреляла пушка, пехотинец может туда перебежать). Назовём систему надёжной, если у пушки нет гарантированной стратегии поражения пехотинца (то есть такой последовательности выстрелов, благодаря которой пушка
поразит пехотинца независимо от его начального местонахождения и последующих
передвижений).
а) Докажите, что система укреплений, изображённая на рисунке,
надёжна.
б) Найдите все надёжные системы укреплений, которые перестают быть
надёжными после разрушения любой из траншей.
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 9,10,11
|
В городе Удоеве выборы мэра проходят следующим
образом. Если в очередном туре голосования никто из кандидатов не набрал больше
половины голосов, то проводится следующий тур с участием всех кандидатов, кроме
последнего по числу голосов. (Никогда два кандидата не набирают голосов поровну;
если кандидат набрал больше половины голосов, то он становится мэром и выборы
заканчиваются.) Каждый избиратель в каждом туре голосует за одного из
кандидатов. Если это кандидат вышел в следующий тур, то избиратель снова
голосует за него. Если же кандидат выбыл, то все его избиратели голосуют за
одного и того же кандидата из числа оставшихся.
На очередных выборах
баллотировалось 2002 кандидата. Мэром стал Остап Бендер, занявший в первом туре
k-е место по числу голосов. Определите наибольшее возможное значение
k, если Остап Бендер был избран
а) в 1002-м туре;
б) в 1001-м
туре.
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 8,9,10
|
В тюрьму поместили 100 узников. Надзиратель сказал им:
"Я дам
вам вечер поговорить друг с другом, а потом рассажу по отдельным камерам, и
общаться вы больше не сможете. Иногда я буду одного из вас отводить в комнату, в
которой есть лампа (вначале она выключена). Уходя из комнаты, вы можете оставить
лампу как включенной, так и выключенной.
Если в какой-то момент кто-то из вас скажет мне, что вы все уже побывали в
комнате, и будет прав, то я всех вас выпущу на свободу. А если неправ - скормлю
всех крокодилам. И не волнуйтесь, что кого-нибудь забудут - если будете молчать,
то все побываете в комнате, и ни для кого никакое посещение комнаты не станет
последним."
Придумайте стратегию, гарантирующую узникам освобождение.
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 9,10,11
|
В коробке лежат карточки, занумерованные натуральными
числами от 1 до 2006. На карточке
с номером 2006 лежит карточка с номером 2005
и т. д. до 1. За ход разрешается взять одну верхнюю
карточку (из любой коробки) и переложить ее либо на дно пустой коробки, либо на
карточку с номером на единицу больше. Сколько пустых коробок нужно для
того, чтобы переложить все карточки в другую коробку?
Страница:
<< 192 193 194 195
196 197 198 >> [Всего задач: 1359]
Фильтр
