Каталог по темам

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 204]

Задача 35505

Темы:	[	Куб	]
	[	Пятиугольники	]
	[	Свойства сечений	]
	[	Параллельность прямых и плоскостей	]

Сложность: 3
Классы: 10,11

Может ли некоторое сечение куба быть правильным пятиугольником?

Подсказка

У любого пятиугольного сечения куба должны быть хотя бы две параллельные стороны.

Решение

Если сечение представляет собой пятиугольник, то плоскость П, содержащая сечение, пересекает по отрезку пять граней куба. Среди этих пяти граней найдутся две параллельных грани. Плоскость П пересекает эти две грани по параллельным отрезкам, таким образом, у пятиугольника, получающегося в сечении, должна быть хотя бы одна пара (а на самом деле даже две пары) параллельных сторон.

Ответ

Не может.

Прислать комментарий

Задача 86918

Темы:	[	Куб	]
Темы:	[	Линейные зависимости векторов	]

Сложность: 3
Классы: 8,9

Основание правильной треугольной пирамиды расположено в грани куба, одна из сторон основания совпадает с ребром куба, а вершина пирамиды лежит в противоположной грани куба. Найдите угол боковой грани пирамиды с плоскостью её основания.

Ответ

arctg 2 .

Прислать комментарий

Задача 86986

Темы:	[	Куб	]
Темы:	[	Векторное произведение	]

Сложность: 3
Классы: 8,9

Дан куб ABCDA1B1C1D1 с ребром a . Точки M и K – середины рёбер AB и CD соответственно. Найдите радиус сферы, проходящей через точки M , K , A1 и C1 .

Решение

Центр O сферы, проходящей через точки M , K , A1 и C1 , равноудалён от точек A1 и C1 , поэтому точка O лежит в плоскости α , перпендикулярной отрезку A1C1 и проходящей через его середину, т.е. в поскости BDD1B1 . Точка O равноудалена от точек M и K , поэтому она лежит в плоскости β , перпендикулярной отрезку MK и проходящей через его середину. Плоскости α и β пересекаются по прямой PQ , где P и Q – центры квадратов ABCD и A1B1C1D1 соответственно. Обозначим OQ = x , OM = OK = OA1 = OC1 = R . По теореме Пифагора из прямоугольных треугольников OPM и OQA1 находим, что

R2 = OA21 = OQ2 + QA21 = x2 + ()2 = x2 + ,

R2 = OM2 = OP2 + PM2 = (a - x)2 + ()2 = (a - x)2 + .
Из уравнения
x2 + = (a - x)2 +
что x = . Следовательно,
R= = = .

Ответ

.

Прислать комментарий

Задача 87288

Темы:	[	Куб	]
Темы:	[	Сферы (прочее)	]

Сложность: 3
Классы: 8,9

В полушар радиуса R вписан куб так, что четыре его вершины лежат на основании полушара, а другие четыре вершины расположены на его сферической поверхности. Найдите объём куба.

Решение

Пусть вершины A , B , C и D куба ABCDA1B1C1D1 с ребром, равным x , лежат на основании данного полушара с центром O , а вершины A1 , B1 , C1 и D1 – на сферической поверхности. По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника AA1O находим, что

OA21 = OA2 + AA21, или R2 = ()2 + x2,
откуда x = R . Следовательно,
V_ABCDA1B1C1D1 = x3 = (R)3 = = .

Ответ

.

Прислать комментарий

Задача 87353

Темы:	[	Куб	]
Темы:	[	Расстояние от точки до плоскости	]

Сложность: 3
Классы: 10,11

В кубе ABCDA1B1C1D1 , где AA1 , BB1 , CC1 и DD1 – параллельные рёбра, плоскость P проходит через диагональ A1C1 грани куба и середину ребра DD1 . Найдите расстояние от середины ребра CD до плоскости P , если ребро куба равно 4.

Ответ

.

Прислать комментарий

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 204]