Страница:
<< 154 155 156 157
158 159 160 >> [Всего задач: 1133]
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11
|
Дана таблица n×n клеток и такие натуральные числа k и m > k, что m и n – k взаимно просты. Таблица заполняется следующим образом: пусть в некоторой строчке записаны числа a1, ..., ak, ak+1, ..., am, am+1, ..., an. Тогда в следующей строчке записываются те же числа, но в таком порядке: am+1, ..., an, ak+1, ..., am, a1, ..., ak. В первую строчку записываются (по порядку) числа 1, 2, ..., n. Доказать, что после заполнения таблицы в каждом столбце будут написаны все числа от 1 до n.
|
|
|
Сложность: 5-
Классы: 8,9,10
|
Квадратная таблица размером n×n заполнена неотрицательными числами так, что как сумма чисел каждой строки, так и сумма чисел каждого столбца равна 1. Докажите, что из таблицы можно выбрать n положительных чисел, никакие два из которых не стоят ни в одном столбце, ни в одной строке.
|
|
|
Сложность: 5-
Классы: 7,8,9,10
|
а) Школьники одного класса в сентябре ходили в два туристических похода. В первом походе мальчиков было меньше ⅖ общего числа участников этого похода, во втором – тоже меньше ⅖. Докажите, что в этом классе мальчики составляют меньше 4/7 общего числа учеников, если известно, что каждый из учеников участвовал по крайней мере в одном походе.
б) Пусть в k-м походе, где 1 ≤ k ≤ n, мальчики составляли αk-ю часть общего количества участников этого похода. Какую наибольшую долю могут составлять мальчики на общей встрече всех туристов (всех, кто участвовал хотя бы в одном из n походов)?
|
|
|
Сложность: 5-
Классы: 8,9,10
|
Белые и чёрные играют в следующую игру. В углах шахматной доски стоят два
короля: белый на a1, чёрный на h8. Играющие делают ход по очереди. Начинают белые. Играющий может ставить своего короля на любое соседнее поле
(если только оно свободно), соблюдая следующие правила: нельзя увеличивать
расстояние между королями (расстоянием между двумя полями называется наименьшее
число шагов короля, за которое он может пройти с одного поля на другое: так, в
начале игры расстояние между королями – 7 ходов). Выигрывает тот, кто
поставит своего короля на противоположную кромку доски (белого короля на
вертикаль h или восьмую горизонталь, чёрного – на вертикаль a или первую горизонталь). Кто выиграет при правильной игре?
|
|
|
Сложность: 5-
Классы: 8,9,10,11
|
В клетках таблицы $15\times 15$ расставлены ненулевые числа так, что каждое
из них равно произведению всех чисел, стоящих в соседних клетках (соседними
называем клетки, имеющие общую сторону). Докажите, что все числа в таблице
положительны.
Страница:
<< 154 155 156 157
158 159 160 >> [Всего задач: 1133]
Фильтр
