Страница:
<< 58 59 60 61
62 63 64 >> [Всего задач: 549]
Одна под другой выписаны 2n–1 различных последовательностей из нулей и единиц длины n. Известно, что для любых трёх из выписанных последовательностей найдётся такой номер p, что в p-м разряде у всех трёх стоит 1. Доказать, что в некотором разряде у всех выписанных последовательностей стоит 1 и такой разряд только один.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 7,8,9
|
На всех клетках шахматной доски 8×8 расставлены натуральные числа.
Разрешается выделить любой квадрат размером 3×3 или 4×4 и
увеличить все числа в нём на 1. Мы хотим в результате нескольких таких операций
добиться, чтобы числа во всех клетках делились на 10. Всегда ли это удастся
сделать?
Грани кубика занумерованы 1, 2, 3, 4, 5, 6, так, что сумма номеров на
противоположных гранях кубика равна 7. Дана шахматная доска 50×50
клеток, каждая клетка равна грани кубика. Кубик перекатывается из левого
нижнего угла доски в правый верхний. При перекатывании он каждый раз
переваливается через свое ребро на соседнюю клетку, при этом разрешается
двигаться только вправо или вверх (нельзя двигаться влево или вниз). На каждой
из клеток на пути кубика имеется номер грани, которая опиралась на эту клетку.
Какое наибольшее значение может принимать сумма всех написанных чисел? Какое
наименьшее значение она может принимать?
В клетках таблицы размером 10×20 расставлено 200 различных чисел. В
каждой строчке отмечены три наибольших числа красным цветом, а в каждом столбце
отмечены три наибольших числа синим цветом. Доказать, что не менее девяти чисел
отмечены в таблице как красным, так и синим цветом.
В волейбольном турнире каждые две команды сыграли по одному матчу.
а) Докажите, что если для каждых двух команд найдётся третья, которая выиграла у этих двух, то число команд не меньше семи.
б) Постройте пример такого турнира семи команд.
в) Докажите, что если для любых трёх команд найдётся такая, которая
выиграла у этих трёх, то число команд не меньше 15.
Страница:
<< 58 59 60 61
62 63 64 >> [Всего задач: 549]
Фильтр
