ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Версия для печати
Убрать все задачи Назовём белыми числа вида $\sqrt{a+b\sqrt{2}}$, где $a$ и $b$ — целые, не равные нулю. Аналогично, назовём чёрными числа вида $\sqrt{c+d\sqrt{7}}$, где $c$ и $d$ — целые, не равные нулю. Может ли чёрное число равняться сумме нескольких белых? |
Задача 79385
УсловиеТри прямолинейных коридора одинаковой длины l образуют фигуру, изображённую на рисунке. По ним бегают гангстер и полицейский. Максимальная скорость полицейского в 2 раза больше максимальной скорости гангстера. Полицейский сможет увидеть гангстера, если он окажется от него на расстоянии, не большем r. Доказать, что полицейский всегда может поймать гангстера, если: а) r > l/3; б) r > l/4; в) r > l/5; г) r > l/7. РешениеДоговоримся, что полицейский всегда движется с максимальной скоростью. Сначала он "прочёсывает" коридор OC. Убедившись, что гангстера там нет, полицейский удаляется в коридор OA на расстояние 2r и затем возвращается в точку O. Пусть отсюда он не увидел гангстер. Заметим, что тогда он не может находиться в коридоре OC: если бы он за время отсутствия полицейского в точке O попытался перебежать из коридора OB в коридор OC, то к моменту возвращения полицейского в точку O расстояние от гангстера до O было бы не больше, чем r. а) Если l ≤ 3r, то гангстер не может находиться и в коридоре OA, и полицейский ловит его, "прочесав" коридор OB. б) Пусть 3r < l ≤ 4r. Тогда гангстер может находиться в коридоре OA, но на расстоянии от O , большем 2r. в) Пусть 4r < l < 5r. Тогда гангстер может находиться в коридоре OB, но на расстоянии от O, большем (3r + r) – 3r/2 = 5r/2. г) Пусть 5r ≤ l < 7r. Положим ε = ½ (7r – l). Полицейский действует так, как описано в п. в), пока при каком-то не окажется, что yn ≥ 3r – ε (из формулы для yn следует, что когда-то это произойдёт). После этого полицейский углубляется в очередной коридор (скажем, OA) на расстояние l – r. Источники и прецеденты использования |
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|
![]() |
Проект осуществляется при поддержке