Различные числа a, b и c таковы, что уравнения  x² + ax + 1 = 0  и  x² + bx + c = 0  имеют общий действительный корень. Кроме того, общий действительный корень имеют уравнения  x² + x + a = 0  и  x² + cx + b = 0.  Найдите сумму  a + b + c.

   Решение

В квадрате 7×7 клеток закрасьте некоторые клетки так, чтобы в каждой строке и в каждом столбце оказалось ровно по три закрашенных клетки.

   Решение

Числовое множество M, содержащее 2003 различных числа, таково, что для каждых двух различных элементов a, b из M число
   рационально. Докажите, что для любого a из M число    рационально.

   Решение

Окружности , и  имеют одинаковые радиусы и касаются сторон углов A, B и C треугольника ABC соответственно. Окружность  касается внешним образом всех трех окружностей , и . Докажите, что центр окружности  лежит на прямой, проходящей через центры вписанной и описанной окружностей треугольника ABC.

   Решение

Даны две точки A и B и окружность. Найти на окружности точку X так, чтобы прямые AX и BX отсекли на окружности хорду CD, параллельную данной прямой MN.

   Решение

Назовём натуральное число интересным, если сумма его цифр – простое число.
Какое наибольшее количество интересных чисел может быть среди пяти подряд идущих натуральных чисел?

   Решение

Темы:    [ Линейные неравенства и системы неравенств ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Прислать комментарий

Условие

По кругу записаны 100 целых чисел. Каждое из чисел больше суммы двух чисел, следующих за ним по часовой стрелке.
Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди записанных?

Решение

  Оценка. Предположим, что два неотрицательных числа стоят рядом. Тогда число, стоящее перед ними, больше их суммы, то есть положительно. Аналогично, число перед ним также положительно, и т. д. В итоге получаем, что все числа неотрицательны; но тогда наименьшее из них не может быть больше суммы двух следующих – противоречие. Итак, среди каждых двух чисел, стоящих рядом, есть хотя бы одно отрицательное. Значит, положительных чисел не более 50.
  Пусть их ровно 50, тогда они чередуются с отрицательными. Рассмотрим три числа – a, b, – c, стоящие подряд (здесь  a, b, c > 0).  Тогда
– a > b > – c > – c,  то есть каждое отрицательное число строго больше следующего за ним отрицательного числа. Поскольку числа стоят по кругу, это невозможно. Стало быть, положительных чисел не более 49.
  Пример, в котором ровно 49 положительных чисел: – 200, 1, – 202, 1, – 204, 1, – 206, 1, ..., – 296, 1, – 298, – 99.

Ответ

49.

Источники и прецеденты использования