Различные числа a, b и c таковы, что уравнения  x² + ax + 1 = 0  и  x² + bx + c = 0  имеют общий действительный корень. Кроме того, общий действительный корень имеют уравнения  x² + x + a = 0  и  x² + cx + b = 0.  Найдите сумму  a + b + c.

   Решение

В квадрате 7×7 клеток закрасьте некоторые клетки так, чтобы в каждой строке и в каждом столбце оказалось ровно по три закрашенных клетки.

   Решение

Числовое множество M, содержащее 2003 различных числа, таково, что для каждых двух различных элементов a, b из M число
   рационально. Докажите, что для любого a из M число    рационально.

   Решение

Окружности , и  имеют одинаковые радиусы и касаются сторон углов A, B и C треугольника ABC соответственно. Окружность  касается внешним образом всех трех окружностей , и . Докажите, что центр окружности  лежит на прямой, проходящей через центры вписанной и описанной окружностей треугольника ABC.

   Решение

Даны две точки A и B и окружность. Найти на окружности точку X так, чтобы прямые AX и BX отсекли на окружности хорду CD, параллельную данной прямой MN.

   Решение

Назовём натуральное число интересным, если сумма его цифр – простое число.
Какое наибольшее количество интересных чисел может быть среди пяти подряд идущих натуральных чисел?

   Решение

Темы:    [ Суммы числовых последовательностей и ряды разностей ] [ Геометрическая прогрессия ] [ Индукция (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Прислать комментарий

Условие

Бессмертная блоха прыгает по целым точкам на числовой прямой, стартуя с точки 0. Длина первого прыжка равна 3, второго – 5, третьего – 9, и так далее (длина k-го прыжка равна  2^k + 1).  Направление прыжка (вправо или влево) блоха выбирает самостоятельно. Может ли так случиться, что блоха рано или поздно побывает в каждой натуральной точке (возможно, побывав в некоторых точках больше, чем по разу)?

Решение

  Покажем, как блоха может прыгать, попадая последовательно в точки 0, 1, 2, 3, ... (каждый раз – за несколько прыжков). Для этого достаточно показать, как, попав в точку n, за несколько прыжков попасть в точку  n + 1.
  Пусть до попадания в точку n блоха совершила  k – 1  прыжок (то есть длина следующего прыжок будет равна   2^k + 1).  Тогда она может сделать
l = 2^k  прыжков влево, а затем один прыжок вправо. В результате она сместится вправо на
(2^k+l + 1) – (2^k + 1) – (2^k+1 + 1) – ... – (2^k+l–1 + 1) = (2^k+l – 2^k – 2^k+1 – ... – 2^k+l–1) + 1 – 2^k = 2^k + 1 – 2^k = 1,  что и требовалось.

Ответ

Может.

Источники и прецеденты использования