Мачеха приказала Золушке сшить квадратное одеяло из пяти прямоугольных кусков так, чтобы длины сторон всех кусков были попарно различны и составляли целое число дюймов. Сможет ли Золушка выполнить задание без помощи феи-крестной?

   Решение

Тема:    [ Связь величины угла с длиной дуги и хорды ]

Сложность: 7 Классы: 9,10

Прислать комментарий

Условие

Точки Z и W изогонально сопряжены относительно правильного треугольника ABC с центром O; M — середина отрезка ZW. Докажите, что AOZ + AOW + AOM = n (углы ориентированы).

Решение

Расположим данный треугольник так, чтобы центр описанной окружности оказался в нуле, а точка A — в единице. Пусть z и w — комплексные числа, соответствующие точкам Z и W. Повороты плоскости вокруг нуля на указанные углы соответствуют умножению на комплексные числа z/, w/ и (z + w)/( + ). Но согласно задаче 29.32.1 z + w = - , значит, произведение этих трех комплексных чисел равно 1.

Источники и прецеденты использования