В прямоугольном треугольнике ABC гипотенуза AB=c , A = α . Найдите радиус окружности, касающейся катета AC , гипотенузы AB и окружности, описанной около треугольника ABC .

   Решение

Три шара радиусов 1, 3 и 4 расположены так, что каждый из них касается двух других шаров и двух данных плоскостей. Найдите расстояние между точками касания первого из этих шаров с плоскостями.

   Решение

Основания трапеции равны 2 и 12, а диагонали – 6 и 10. Найдите угол между диагоналями.

   Решение

Прямая OA касается окружности в точке A, а хорда BC параллельна OA. Прямые OB и OC вторично пересекают окружность в точках K и L.
Докажите, что прямая KL делит отрезок OA пополам.

   Решение

Плоскость, параллельная основанию пирамиды, делит её объём на две равные части. В каком отношении эта плоскость делит боковые рёбра пирамиды?

   Решение

Выдающемуся бразильскому футболисту Роналдиньо Гаушо исполнится X лет в X² году.
А сколько лет ему исполнится в 2018 году, когда чемпионат мира пройдёт в России?

   Решение

Объём тетраэдра ABCD равен V . На ребре AB взяты точки M и N , а на ребре CD – точки P и Q . Известно, что MN = α AB , PQ = β CD . Найдите объём тетраэдра MNPQ .

   Решение

Можно ли расположить на плоскости три вектора так, чтобы модуль суммы каждых двух из них был равен 1, а сумма всех трёх была равна нулевому вектору?

   Решение

На ребре единичного правильного тетраэдра взята точка, которая делит это ребро в отношении 1:2. Через эту точку провежены две плоскости, параллельные двум граням тетраэдра. Эти плоскости отсекают от тетраэдра две треугольные пирамиды. Найдите объём оставшейся части тетраэдра.

   Решение

Объём пирамиды ABCD равен 1. На рёбрах AD , BD , CD взяты соответственно точки K , L и M , причём 2AK = KD , BL = 2LD и 2CM = 3MD . Найдите объём многогранника ABCKLM .

   Решение

Темы:    [ Десятичная система счисления ] [ Принцип Дирихле (прочее) ] [ Показательные функции и логарифмы (прочее) ] [ Рациональные и иррациональные числа ]

Сложность: 5+ Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что числа вида 2ⁿ при различных целых положительных n могут начинаться на любую наперёд заданную комбинацию цифр.

Решение

Пусть A — данное натуральное число. Покажем, что натуральное число n можно выбрать так, что 10^mA < 2ⁿ < 10^m(A + 1), т.е. m + lg A < n lg 2 < m + lg(A + 1). Эквивалентное условие таково: существуют натуральные числа m и n, для которых lg A < n lg 2 - m < lg(A + 1). Число lg 2 иррационально. (Действительно, предположим, что lg 2 = p/q, где p и q — натуральные числа. Тогда 10^p/q = 2, т.е. 10^p = 2^q. Этого не может быть.) Поэтому остаётся доказать следующее утверждение: `` Пусть — иррациональное число. Тогда для любых чисел a < b можно выбрать целые числа m и n, для которых a < m - n < b.'' Пусть = b - a. Для каждого целого числа m можно выбрать целое число n так, что 0m - n1. Разделим отрезок [0, 1] на равные отрезки, длина каждого из которых меньше . Пусть количество этих отрезков равно k. Тогда среди чисел - n₁, 2 - n₂, ..., (k + 1) - n_{k + 1} есть два числа, принадлежащих одному и тому же отрезку. Вычтем из большего числа меньшее: p - n_p - (q - n_q) = t. Ясно, что 0t < . Более того, t 0, поскольку иначе = — рациональное число. Рассмотрим числа вида Nt, где N — целое число. Каждое из этих чисел имеет вид m - n. А из того, что 0 < t < , следует, что хотя бы одно из этих чисел расположено строго между a и b.

Источники и прецеденты использования