В остроугольном треугольнике $ABC$ точка $D$ – основание высоты из вершины $A$, $A'$ – точка описанной окружности, диаметрально противоположная $A$. На отрезке $AD$ выбрана точка $P$, а на отрезках $AB$ и $AC$ точки $X$ и $Y$ так, что $\angle CBP=\angle ADY$, $\angle BCP=\angle ADX$. Пусть $PA'$ пересекает $BC$ в точке $T$. Докажите, что $D$, $X$, $Y$, $T$ лежат на одной окружности.

   Решение

Темы:    [ Треугольник, образованный основаниями двух высот и вершиной ] [ Вспомогательная окружность ] [ Отношение площадей подобных треугольников ] [ Отрезок, видимый из двух точек под одним углом ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

На сторонах BC и CD квадрата ABCD взяты точки E и F, причём  ∠EAF = 45°.  Отрезки AE и AF пересекают диагональ BD в точках P и Q.
Докажите, что  S_AEF = 2S_APQ.

Подсказка

Докажите, что EP и EQ – высоты треугольника AEF.

Решение

  Поскольку отрезок PF виден из точек A и B под углом 45°, то точки A, P, F и D лежат на одной окружности, а так как  ∠ADF = 90°,  то AF – диаметр этой окружности. Следовательно,  APF = 90°  и FP – высота треугольника AEF. Аналогично EQ – высота треугольника AEF. Поэтому треугольник APQ подобен треугольнику AFE с коэффициентом  cos∠EAF = cos 45°.
  Следовательно,  ^S_APQ/_SAEF = (cos 45°)² = ½.

Источники и прецеденты использования