Дан невыпуклый несамопересекающийся четырёхугольник, который имеет три внутренних угла по 45°.
Докажите, что середины его сторон лежат в вершинах квадрата.

   Решение

На продолжениях сторон CA и AB треугольника ABC за точки A и B соответственно отложены отрезки AE = BC и BF = AC. Окружность касается отрезка BF в точке N, стороны BC и продолжения стороны AC за точку C. Точка M – середина отрезка EF. Докажите, что прямая MN параллельна биссектрисе угла A.

   Решение

Найти геометрическое место середин отрезков с концами на двух различных непересекающихся окружностях, лежащих одна вне другой.

   Решение

Темы:    [ Теорема о группировке масс ] [ Выпуклые многоугольники ] [ Четырехугольники (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Прислать комментарий

Условие

Пусть ABCD — выпуклый четырехугольник, K, L, M и N — середины сторон AB, BC, CD и DA. Докажите, что точка пересечения отрезков KM и LN является серединой этих отрезков, а также и серединой отрезка, соединяющего середины диагоналей.

Решение

Поместим в вершины четырехугольника ABCD единичные массы. Пусть O — центр масс этой системы точек. Достаточно доказать, что точка O является серединой отрезков KM и LN и серединой отрезка, соединяющего середины диагоналей. Ясно, что K — центр масс точек A и B, M — центр масс точек C и D. Поэтому точка O является центром масс точек K и M с массами 2, т. е. O — середина отрезка KM. Аналогично O — середина отрезка LN. Рассматривая центры масс пар точек (A, C) и (B, D) (т. е. середины диагоналей), получаем, что точка O является серединой отрезка, соединяющего середины диагоналей.

Источники и прецеденты использования