|
|
 |
Условие
Дан невыпуклый несамопересекающийся четырёхугольник, который имеет три внутренних угла по 45°.
Докажите, что середины его сторон лежат в вершинах квадрата.
Решение
Пусть A, B и C – последовательные вершины четырёхугольника ABCD, внутренние углы при которых равны 45°. Докажем, что отрезки BD и AC равны и перпендикулярны.
Первый способ. Обозначим через P точку пересечения прямых AD и BC. Треугольник ABP – прямоугольный и равнобедренный, так как его углы при вершинах A и B равны по 45°. Треугольник DPC – также равнобедренный и прямоугольный. Значит, прямоугольные треугольники APC и BPD равны по двум катетам. Один из них получается из другого поворотом на угол 90° относительно точки P. Следовательно, отрезки BD и AC равны и перпендикулярны.
Второй способ. AD и СD – высоты треугольника ABC, значит, и BD – высота, то есть BD ⊥ AC.
D – ортоцентр треугольника ABC, поэтому описанные окружности треугольников ABC и ABD равны (см. задачу 55597). Следовательно, равны и их хорды BD и AC, стягивающие дуги в 90°.
Середины сторон любого четырёхугольника являются вершинами параллелограмма, противоположные стороны которого соответственно параллельны диагоналям четырёхугольника и равны их половинам. Диагонали данного четырёхугольника равны и перпендикулярны. Следовательно, четырёхугольник с вершинами в серединах его сторон – квадрат.
Замечания
3 балла
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| задача | |
| Номер | 4272 |
| журнал | |
| Название | "Квант" |
| год | |
| Год | 1994 |
| выпуск | |
| Номер | 2 |
| Задача | |
| Номер | М1425 |
| олимпиада | |
| Название | Турнир городов |
| Турнир | |
| Номер | 15 |
| Дата | 1993/1994 |
| вариант | |
| Вариант | осенний тур, основной вариант, 8-9 класс |
| Задача | |
| Номер | 3 |
