Выбрано 3 задачи 
Убрать все задачи
Представьте следующие числа в виде обычных и в виде десятичных дробей:
а) 0,(12) + 0,(122); б) 0,(3)·0,(4); в) 0,(9) – 0,(85).
РешениеИмеется 1959 положительных чисел a1, a2..., a1959, сумма которых равна 1. Рассматриваются всевозможные комбинации из 1000 чисел, причём комбинации считаются совпадающими, если они отличаются только порядком чисел. Для каждой комбинации рассматривается произведение входящих в неё чисел. Доказать, что сумма всех этих произведений меньше 1.
РешениеЖители острова Невезения, как и мы с вами, делят сутки на несколько часов, час на несколько минут, а минуту на несколько секунд. Но у них в сутках 77 минут, а в часе 91 секунда. Сколько секунд в сутках на острове Невезения?
Решение
|
|
 |
Условие
На столе в ряд лежат 20 плюшек с сахаром и 20 с корицей в произвольном порядке. Малыш и Карлсон берут их по очереди, начинает Малыш. За ход можно взять одну плюшку с любого края. Малыш хочет, чтобы ему в итоге досталось по десять плюшек каждого вида, а Карлсон пытается ему помешать. При любом ли начальном расположении плюшек Малыш может достичь своей цели, как бы ни действовал Карлсон?
Решение
Пронумеруем плюшки в ряду числами от 1 до 40. Заметим, что у Малыша всегда есть возможность взять плюшку с номером любой чётности, а после каждого его хода Карлсон вынужден брать плюшку с номером другой чётности.
Пусть среди плюшек с нечётными номерами не меньше десяти с сахаром (если с корицей, то рассуждения аналогичны). Тогда Малыш начинает с того, что берёт плюшки с нечётными номерами и после каждого хода Карлсона вычисляет такую величину: количество полученных плюшек с сахаром + количество оставшихся на столе плюшек с сахаром с чётными номерами. В начальный момент эта величина не больше 10, а если Малыш будет брать плюшки только с нечётными номерами, то в конце она будет не меньше 10. При этом после каждой пары ходов Малыша и Карлсона эта величина изменяется не более чем на 1. Следовательно, в какой-то момент (возможно, начальный) она будет равна 10. После этого Малыш может брать только плюшки с чётными номерами и в итоге получит ровно 10 плюшек с сахаром, а значит, и 10 плюшек с корицей, что и требуется.
Ответ
При любом.
Замечания
1. Верно более общее утверждение: если в ряд лежит чётное число плюшек, и из них на нечётных местах ровно $L$ с сахаром, а на чётных – ровно $R$ с сахаром, то для всякого $k$ между (нестрого) числами $R$ и $L$ Малыш может действовать так, чтобы взять ровно $k$ плюшек с сахаром.
Для решения исходной задачи достаточно доказать это утверждение, ибо в нашем случае $R + L = 20$ и одно из чисел не меньше 10, а другое не больше 10.
Индукция по количеству плюшек. Если их две, утверждение очевидно.
Шаг индукции. Покрасим плюшки в шахматном порядке так, чтобы нечётные стали белыми. Если $k = L$, то Малышу достаточно каждым ходом есть белую плюшку, если $k = R$ – чёрную. Если же $k$ заключено строго между $L$ и $R$, то Малыш может сделать первый ход произвольно, а далее добиться своего по предположению индукции. В самом деле, не умаляя общности, $L < k < R$, тогда белых плюшек с сахаром останется либо $L$, либо $L$ – 1 , чёрных – либо $R$, либо $R$ – 1, а Малышу далее надо взять либо $k$, либо $k$ – 1 плюшку с сахаром, причём $L -1 < L \leqslant k - 1 < k \leqslant R - 1 < R$.
2. 12 баллов.
