Версия для печати
Убрать все задачи

---

Даны выпуклый многоугольник и квадрат. Известно, что как ни расположи две копии многоугольника внутри квадрата, найдётся точка, принадлежащая обеим копиям. Докажите, что как ни расположи три копии многоугольника внутри квадрата, найдётся точка, принадлежащая всем трём копиям.

   Решение

Темы:    [ Признаки и свойства параллелограмма ] [ Ромбы. Признаки и свойства ] [ Симметрия помогает решить задачу ] [ Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Окружность пересекает каждую сторону ромба в двух точках и делит её на три отрезка. Обойдём контур ромба, начав с какой-нибудь вершины, по часовой стрелке, и покрасим три отрезка каждой стороны последовательно в красный, белый и синий цвета. Докажите, что сумма длин красных отрезков равна сумме длин синих.

Решение 1

  Пусть угол при вершине A ромба ABCD – не тупой. Обозначим длины красных, белых и синих отрезков (в порядке обхода  A → B → C → D → A)  r₁, w₁, b₁, r₂, ..., b₄.  Опустим из центра O окружности перпендикуляры OK, OL, OM и ON на стороны AB, BC, CD и DA соответственно (см. рис.).

  Эти перпендикуляры разделят белые отрезки пополам. Поэтому  AK = r₁ + ½ w₁,  KB = b₁ + ½ w₁  и т. д. Теперь достаточно доказать, что
AK + BL + CM + DN = KB + LC + MD + NA.
   На самом деле, верны даже равенства  AK + CM = LC + NA  и  BL + DN = KB + MD.  Докажем, например, первое из них. Для этого опустим еще перпендикуляры CP и CQ на прямые AB и AD.  CP = CQ  в силу симметрии ромба относительно диагонали AC. KPCM – параллелограмм (даже прямоугольник), значит,  KP = CM  и  AK + CM = AP.  Аналогично  LC + NA = AQ,  то есть  LC + NA = AQ = AP = AK + CM.

Решение 2

  Пусть d – длина стороны ромба. По теореме о секущей  r₁(d – b₁) = b₄(d – r₄),  r₂(d – b₂) = b₁(d – r₁),  и т. д. Сложив эти 4 соотношения, получим
(r₁ + r₂ + r₃ + r₄)d – (r₁b₁ + ... + r₄b₄) = (b₁ + ... + b₄)d – (r₁b₁ + ... + r₄b₄).  Следовательно,  r₁ + r₂ + r₃ + r₄ = b₁ + b₂ + b₃ + b₄.

Замечания

4 балла

Источники и прецеденты использования