Докажите, что сумма диагоналей выпуклого четырёхугольника меньше его периметра, но больше полупериметра.

   Решение

На поверхности куба найти точки, из которых диагональ видна под наименьшим углом. Доказать, что из остальных точек поверхности куба диагональ видна под большим углом, чем из найденных.

   Решение

Тема:    [ Неравенства с медианами ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Периметры треугольников ABM, BCM и ACM, где M — точка пересечения медиан треугольника ABC, равны. Докажите, что треугольник ABC правильный.

Решение

Пусть, например, BC > AC. Тогда MA < MB (см. задачу 10.1), поэтому  BC + MB + MC > AC + MA + MC.

Источники и прецеденты использования