Информация о задаче

Задача 57465

Тема:

[

Неравенства для площади треугольника

]

Сложность: 5
Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что
а) S³ $\leq$ ( $\sqrt{3}$ /4)³(abc)²;
б) 3h_ah_bh_c $\leq$ 43 $\sqrt{S}$ $\leq$ 3r_ar_br_c.

Решение

а) Перемножив три равенства вида S = (ab sin $\gamma$ )/2, получим S³ = ((abc)²sin $\gamma$ sin $\beta$ sin $\alpha$ )/8. Остается воспользоваться результатом задачи 10.41.
б) Так как (h_ah_bh_c)² = (2S)⁶/(abc)² и (abc)² $\geq$ (4/ $\sqrt{3}$ )³S³, то (h_ah_bh_c)² $\leq$ (2S)⁶( $\sqrt{3}$ /4)³/S³ = ( $\sqrt{3}$ S)³.
Так как (r_ar_br_c)² = S⁴/r² (задача 12.18, в) и r²( $\sqrt{3}$ )³ $\leq$ S (задача 10.53, а)), то (r_ar_br_c)² $\geq$ ( $\sqrt{3}$ S)³.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	10
Название	Неравенства для элементов треугольника
Тема	Неравенства для элементов треугольника.
параграф
Номер	8
Название	Неравенства для площади треугольника
Тема	Неравенства для площади треугольника
задача
Номер	10.055