Информация о задаче

Задача 58404

Тема:

[

Связь величины угла с длиной дуги и хорды

]

Сложность: 7
Классы: 9,10

Прислать комментарий

Условие

Вершины треугольника соответствуют комплексным числам a, b и c, лежащим на единичной окружности с центром в нуле. Докажите, что если точки z и w изогонально сопряжены, то z + w + abc $\bar{z}$ $\bar{w}$ = a + b + c (Морли).

Решение

Согласно задаче 29.20

$\displaystyle \Im$ (a - z)(a - w)( $\displaystyle \bar{a}$ - $\displaystyle \bar{b}$ )( $\displaystyle \bar{a}$ - $\displaystyle \bar{c}$ ) = 0.

Обозначим ( $\bar{a}$ - $\bar{b}$ )( $\bar{a}$ - $\bar{c}$ ), ( $\bar{b}$ - $\bar{a}$ )( $\bar{b}$ - $\bar{c}$ ) и ( $\bar{c}$ - $\bar{a}$ )( $\bar{c}$ - $\bar{b}$ ) через A, B и C соответственно. Тогда

$\displaystyle \Im$ a²A - $\displaystyle \Im$ aA(z + w) + $\displaystyle \Im$ Azw = 0.1)

Заметим, что a(b + c)A — вещественное число. Действительно,

a(b + c)A = 2 $\displaystyle \Re$ $\displaystyle \bigl($ $\displaystyle \bar{a}$ (b + c) $\displaystyle \bigr)$ - | a(b + c)|²

(чтобы проверить это равенство, нужно воспользоваться тем, что $\Re$ $\zeta$ = ( $\zeta$ + $\bar{\zeta}$ )/2, и тем, что a $\bar{a}$ = b $\bar{b}$ = c $\bar{c}$ = 1, поскольку точки a, b, c лежат на единичной окружности). Таким образом,

$\displaystyle \Im$ a²A = $\displaystyle \Im$ $\displaystyle \bigl($ (a + b + c)aA $\displaystyle \bigr)$ - $\displaystyle \Im$ $\displaystyle \bigl($ a(b + c)A $\displaystyle \bigr)$ = $\displaystyle \Im$ $\displaystyle \bigl($ aA(a + b + c) $\displaystyle \bigr)$ .

Далее,

abc^.aA = ab( $\displaystyle \bar{a}$ - $\displaystyle \bar{b}$ )^.ac( $\displaystyle \bar{a}$ - $\displaystyle \bar{c}$ ) = (a - b)(a - c) = $\displaystyle \bar{A}$ .

Следовательно,

$\displaystyle \Im$ Azw = - $\displaystyle \Im$ $\displaystyle \overline{Azw}$ = - $\displaystyle \Im$ aA^.abc^. $\displaystyle \bar{z}$ $\displaystyle \bar{w}$ .

Подставляя эти равенства в (1), получаем

$\displaystyle \Im$ aA[a + b + c - (z + w) - abc^. $\displaystyle \bar{z}$ $\displaystyle \bar{w}$ ] = $\displaystyle \Im$ aAp = 0

(через p обозначено выражение в квадратных скобках).
Аналогично доказывается, что $\Im$ bBp = $\Im$ cCp = 0. Таким образом, либо p = 0 и тогда утверждение задачи доказано, либо числа aA, bB и cC пропорциональны с вещественным коэффициентом пропорциональности. Но второй случай невозможен, так как иначе число

$\displaystyle {\frac{aA}{bB}}$ = $\displaystyle {\frac{a}{b}}$ ^. $\displaystyle {\frac{\bar a-\bar c}{\bar c-\bar b}}$

было бы вещественным, т. е. $\angle$ bOa = $\angle$ acc₁ = $\pi$ n (углы ориентированные: рис.). Однако $\angle$ acc₁ = $\pi$ - $\angle$ c и $\angle$ bOa = 2 $\angle$ c по теореме о вписанном угле, поэтому $\angle$ c = $\pi$ (n - 1), чего не может быть.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	29
Название	Аффинные преобразования
Тема	Аффинная геометрия
параграф
Номер	3
Название	Комплексные числа
Тема	Связь величины угла с длиной дуги и хорды
задача
Номер	29.032.1