Версия для печати
Убрать все задачи

---

Написанное на доске четырехзначное число можно заменить на другое, прибавив к двум его соседним цифрам по единице, если ни одна из этих цифр не равна 9, либо вычтя из соседних двух цифр по единице, если ни одна из них не равна 0. Можно ли с помощью таких операций из числа 1234 получить число 2002?

   Решение

---

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA₁ и BB₁. Докажите, что  A₁C·BC = B₁C·AC.

   Решение

Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ] [ Три точки, лежащие на одной прямой ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Прямая Симсона ] [ Гомотетия помогает решить задачу ]

Сложность: 4 Классы: 8,9 Название задачи: Прямая Симсона.

Прислать комментарий

Условие

а) Докажите, что основания перпендикуляров, опущенных из точки P описанной окружности треугольника на его стороны или их продолжения, лежат на одной прямой (прямая Симсона).

б) Основания перпендикуляров, опущенных из некоторой точки P на стороны треугольника или их продолжения, лежат на одной прямой. Докажите, что точка P лежит на описанной окружности треугольника.

Решение

  Пусть A₁, B₁ и C₁ – основания перпендикуляров, опущенных из точки P на прямые BC, CA и AB.

  а) Пусть точка P лежит на дуге AC описанной окружности треугольника ABC. Сумма углов при вершинах A₁ и C₁ четырёхугольника A₁BC₁P равна 180°, поэтому  ∠ A₁PC₁ = 180° – ∠B = ∠APC.  Следовательно,  ∠APC₁ = ∠A₁PC,  причём одна из точек A₁ и C₁ (например, A₁) лежит на стороне треугольника, а другая – на продолжении стороны. Четырёхугольники AB₁PC₁ и A₁B₁PC вписанные, поэтому
∠AB₁C₁ = ∠APC₁ = ∠A₁PC = ∠A₁B₁C,  а значит, точка B₁ лежит на отрезке A₁C₁.

  б) Первый способ. Воспользуемся ориентированными углами (см. главу 2 книги В.В. Прасолова "Задачи по планиметрии"). Как и в а), получаем
∠(AP, PC₁) = ∠(AB₁, B₁C) = ∠(CB₁, B₁A₁) = ∠(CP, PA₁).  Прибавляя  ∠(PC₁, PC),  получаем  ∠(AP, PC) = ∠(PC₁, PA₁) = ∠(BC₁, BA₁) = ∠(AB, PC),  то есть точка P лежит на описанной окружности треугольника ABC.
  Второй способ. Рассмотрим гомотетию с центром в точке A, при которой описанная окружность Ω треугольника ABC перейдет в окружность Ω', проходящую через точку P. Треугольник ABC перейдет в треугольник AB'C', вписанный в Ω'. Основания перпендикуляров, опущенных из точки P на стороны AB', AC' треугольника AB'C', – те же точки C₁ и B₁. Пусть A₂ – основание перпендикуляра, опущенного из P на B'C'. Согласно а) точки C₁, B₁ и A₂ лежат на одной прямой. Значит, прямая C₁B₁ пересекает прямую PA₁ как в точке A₁, так и в точке A₂. Следовательно точки A₁ и A₂ совпадают. Тогда совпадают и прямые AB и A'B', то есть коэффициент гомотетии равен 1, и Ω' совпадает с Ω.

Источники и прецеденты использования