Версия для печати
Убрать все задачи

---

Задано такое натуральное число A, что для любого натурального N, делящегося на A, число тоже делится на A. ( – число, состоящее из тех же цифр, что и N, но записанных в обратном порядке; например,   = 7691,  = 54).  Доказать, что A является делителем числа 99.

   Решение

Темы:    [ Теория игр (прочее) ] [ Индукция (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9,10,11

Прислать комментарий

Условие

Имеется кучка из 100 камней. Двое играют в следующую игру. Первый игрок забирает 1 камень, потом второй может забрать 1 или 2 камня, потом первый может забрать 1, 2 или 3 камня, затем второй 1, 2, 3 или 4 камня, и так далее. Выигрывает тот, кто забирает последний камень. Кто может выиграть, как бы ни играл соперник?

Решение

Сначала первый игрок берёт 1 камень, на своем следующем ходу "дополняет" ответ второго до 3, на следующем – до 5, и т.д. Поскольку  1 + 3 + 5 + ... + 19 = 100,  после 10-го хода первого будет взято ровно 100 камней.

Ответ

Первый игрок.

Замечания

Если исходная кучка содержит от $n^2$ до $n^2+n-1$ камней, то выигрышная стратегия есть у первого игрока, а если от $n^2+n$ до $n^2+2n$, то у второго.

Источники и прецеденты использования