Версия для печати
Убрать все задачи

---

Сколько целых чисел от 1 до 1997 имеют сумму цифр, делящуюся на 5?

   Решение

---

В ребусе $\text{ТУР}+\text{ТУР}+\text{ТУР}+...+\text{ТУР}=\text{ТУРЛОМ}$ одинаковые буквы заменяют одинаковые цифры, разные буквы заменяют разные цифры. Часть одинаковых слагаемых мы заменили многоточием. Сколько всего может быть ТУРов, чтобы ребус имел решение? Найдите наименьшее и наибольшее количества.

   Решение

---

Разложить на целые рациональные множители выражение  a¹⁰ + a⁵ + 1.

   Решение

---

a₁, a₂, ..., a₁₀₁  – такая перестановка чисел  2, 3, ..., 102,  что a_k делится на k при каждом k. Найти все такие перестановки.

   Решение

Темы:    [ Последовательности (прочее) ] [ Перебор случаев ]

Сложность: 5 Классы: 9,10

Прислать комментарий

Условие

Дана последовательность целых чисел, построенная следующим образом: a₁ — произвольное трёхзначное число, a₂ — сумма квадратов его цифр, a₃ — сумма квадратов цифр числа a₂ и т.д. Докажите, что в последовательности a₁, a₂, a₃, ...обязательно встретится либо 1, либо 4.

Решение

Прежде всего заметим, что a₂9^{2 .} 3 = 243, а значит, a₃2² + 9^{2 .} 2 = 166. Если 100a₃166, то a₄1 + 6² + 9² = 118, а если 100a₄166, то a₅2 + 64 < 100. Поэтому достаточно проверить требуемое утверждение лишь для чисел, не превосходящих 99. Это делается непосредственной проверкой. Мы будем выписывать последовательность до тех пор пока не встретится 1, 4 или число, уже встречавшееся ранее. При этом мы будем учитывать, что перестановка цифр и добавление (удаление) нуля не влияет на дальнейшие члены последовательности. В результате получим следующие последовательности: 2, 4; 3, 9, 81, 65, 61, 37, 58, 89, 145, 42, 20, 4; 5, 25, 29, 85; 6, 36, 45, 41, 17, 50; 7, 49, 97, 130, 10; 8, 64, 42; 11, 2; 12, 5; 15, 26, 40; 19, 82, 68, 100; 27, 53, 34, 25; 33, 36; 35, 34; 38, 73; 39, 90; 44, 32; 47, 65; 48, 80; 55, 50; 57, 74; 59, 106; 66, 72; 67, 85; 69, 117, 51; 77, 98; 78, 113, 11; 88, 128, 69; 99, 162, 41.

Источники и прецеденты использования