В окружность вписан 2n-угольник  A₁...A_2n. Пусть  p₁,..., p_2n — расстояния от произвольной точки M окружности до сторон  A₁A₂, A₂A₃,..., A_2nA₁. Докажите, что  p₁p₃...p_{2n - 1} = p₂p₄...p_2n.

   Решение

Дана бесконечная последовательность цифр. Докажите, что для любого натурального числа n, взаимно простого с числом 10, можно указать такую группу стоящих подряд цифр последовательности, что записываемое этими цифрами число делится на n.

   Решение

Темы:    [ Правильный (равносторонний) треугольник ] [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Связь величины угла с длиной дуги и хорды ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

На стороне BC равностороннего треугольника ABC как на диаметре внешним образом построена полуокружность, на которой взяты точки K и L, делящие полуокружность на три равные дуги. Докажите, что прямые AK и AL делят отрезок BC на равные части.

Подсказка

Треугольники LQC и AQB подобны с коэффициентом ½.

Решение

  Пусть O – середина BC, P и Q – точки пересечения отрезков AK и AL со стороной BC.
  Поскольку  ∠LOC = 60°  и  OL = OC,  то треугольник LOC – равносторонний. Поэтому  LC = OC = ½ BC = ½ AB,  LC || AB.
  Из подобия треугольников LQC и AQB находим, что  CQ = ^LC/_AB·BQ = ½ BQ.
  Следовательно,  CQ = ¹/₃ BC.  Аналогично  BP = ¹/₃ BC.

Источники и прецеденты использования