Processing math: 39%
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 66849
Тема:    [ Многочлены (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Существует ли непостоянный многочлен P(x), который можно представить в виде суммы  a(x)+b(x),  где a(x) и b(x) – квадраты многочленов с действительными коэффициентами,
  а) ровно одним способом?
  б) ровно двумя способами?
Способы, отличающиеся лишь порядком слагаемых, считаются одинаковыми.


Решение

  Пусть ненулевой многочлен P представим в виде суммы квадратов двух многочленов, то есть  P=F2+G2.  Заметим, что  F2+G2=(cF+sG)2+(sFcG)2,  где  c = cos α,  s = sin α.
Полагая  0 \leqslant\alpha < \frac{π}{2},  получим бесконечно много представлений.
  Допустим, какие-то два из них совпадут, то есть  (c_1F + s_1G)^2 = (c_2F + s_2G)^2  или  (c_1F + s_1G)^2 = (s_2F - c_2G)^2.  Перенося влево и раскладывая на множители, получим, что какая-то из скобок равна нулю в бесконечном числе точек, следовательно, в ней стоит нулевой многочлен. Посмотрим на коэффициенты перед F и G в этой скобке. Хотя бы один из них не равен нулю, так как числа  c_1 + c_2, c_1-c_2, c_1 + s_2, s_1+c_2  ненулевые. Значит, F и G линейно зависимы. Можно считать, что G = tF для некоторого числа t. Тогда  P = (1 + t^2)F^2.  Поскольку F – ненулевой, то, по-разному раскладывая  1 + t^2  в сумму квадратов двух чисел, получим бесконечное число представлений многочлена P.


Ответ

Не существует.

Замечания

баллы: 2 + 3

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
номер/год
Номер 41
Год 2019/20
неизвестно
Вариант весенний тур, базовый вариант, 10-11 класс
задача
Номер 4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .