Задача 67064

Темы:    [ Теорема Виета ] [ Многочлен n-й степени имеет не более n корней ] [ Кубические многочлены ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Условие

Автор: Френкин Б.Р.

Многочлен третьей степени имеет три различных корня строго между 0 и 1. Учитель сообщил ученикам два из этих корней. Ещё он сообщил все четыре коэффициента многочлена, но не указал, в каком порядке эти коэффициенты идут. Обязательно ли можно восстановить третий корень?

Решение

Автор: Тертерян А.

Пусть $a, b, c, d$ – коэффициенты многочлена от старшего к младшему, α, β – известные корни, γ – неизвестный корень. Так как все корни лежат между 0 и 1, то в силу теоремы Виета $d$ – наименьший из коэффициентов по модулю.

Способ 1. Рассмотрим всевозможные расстановки коэффициентов $a, b, c$ и проверим, будут ли α и β корнями получившихся многочленов. При правильной расстановке ответ будет утвердительным. Предположим, что подойдёт и другая расстановка. Вычтем полученный многочлен из правильного и обозначим их разность $P(x)$. Её свободный член равен 0, поэтому
$P$(0) = 0.  Сумма коэффициентов также равна 0, поэтому  $P$(1) = 0.  Кроме того,  $P$(α) = $P$(β) = 0.  Таким образом, многочлен степени не выше 3 имеет 4 различных корня. Противоречие.

Способ 2. Поскольку все корни многочлена положительны, знаки коэффициентов чередуются. Поэтому, зная $d$, определяем $b$. Если найти $a$, то определяется и $c$. Заметим, что  $a\gamma = \frac{-d}{\alpha\beta}$.  Поскольку  $b = -a$(α + β + γ),  можно найти  $a$(α + β).  Так как α и β известны, отсюда определяется $a$.

Ответ

Обязательно.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
год/номер
Номер	43
Дата	2021/22
тур
Вариант	устный тур
задача
Номер	1