Существует ли арифметическая прогрессия из 2011 натуральных чисел, в которой количество чисел, делящихся на 8, меньше, чем количество чисел, делящихся на 9, а последнее, в свою очередь, меньше, чем количество чисел, делящихся на 10?

   Решение

В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC боковая сторона AB равна 14 , а cos A = . Найдите высоту, проведенную к основанию.

   Решение

Темы:    [ Углы между биссектрисами ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ] [ Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть ] [ Вспомогательные подобные треугольники ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Прислать комментарий

Условие

Через центр O вписанной в треугольник ABC окружности проведена прямая, перпендикулярная прямой AO и пересекающая прямую BC в точке M.
Из точки O на прямую AM опущен перпендикуляр OD. Докажите, что точки A, B, C и D лежат на одной окружности.

Решение

  Так как OD – высота прямоугольного треугольника MAO, то  MO² = MA·MD  (см. рис.).
  ∠AOC = 90° + ∠OBC > 90°.  Отсюда  ∠MOC = ∠AOC – 90° = ∠OBC,  и треугольники MOB и MCO подобны (угол OMC – общий). Следовательно,
MO : MC = MB : MO,  откуда  MO² = MB·MC.  Из равенства  MA·MD = MB·MC  следует, что точки A, B, C и D лежат на одной окружности.

Замечания

Равенство  MA·MD = MB·MC  можно получить также из того, что OM – общая касательная к описанным окружностям треугольников ADO и OBC.

Источники и прецеденты использования