Выбрано 6 задач 
Убрать все задачи
Различные числа a, b и c таковы, что уравнения x² + ax + 1 = 0 и x² + bx + c = 0 имеют общий действительный корень. Кроме того, общий действительный корень имеют уравнения x² + x + a = 0 и x² + cx + b = 0. Найдите сумму a + b + c.
В квадрате 7×7 клеток закрасьте некоторые клетки так, чтобы в каждой строке и в каждом столбце оказалось ровно по три закрашенных клетки.
Числовое множество M, содержащее 2003 различных числа, таково, что для каждых двух различных элементов a, b из M число
рационально. Докажите, что для любого a из M число
рационально.
Окружности ,
и
имеют одинаковые радиусы
и касаются сторон углов A, B и C треугольника ABC
соответственно. Окружность
касается внешним образом
всех трех окружностей
,
и
. Докажите, что центр
окружности
лежит на прямой, проходящей через центры
вписанной и описанной окружностей треугольника ABC.
Даны две точки A и B и окружность. Найти на окружности точку X так, чтобы прямые AX и BX отсекли на окружности хорду CD, параллельную данной прямой MN.
Назовём натуральное число интересным, если сумма его цифр – простое число.
Какое наибольшее количество интересных чисел может быть среди пяти подряд идущих натуральных чисел?
|
|
 |
Условие
Аня называет дату красивой, если все 6 цифр её записи различны. Например, 19.04.23 — красивая дата, а 19.02.23 и 01.06.23 — нет. А сколько всего красивых дат в 2023 году?
Решение
Цифры 2 и 3 уже участвуют в номере года, поэтому из всех месяцев нужно рассмотреть только 01, 04, 05, 06, 07, 08, 09 и 10. В каждом из этих номеров есть 0, поэтому в красивой дате не будет дня с номером, начинающимся с 0, 2 и 3, а также не будет дней 10, 11, 12 и 13 — остаются только 6 дней, с 14 по 19. Но тогда в каждом месяце красивая дата начинается с 1, и подходят только 6 месяцев, с 04 по 09. Остаётся заметить, что для каждого подходящего месяца ровно один день, оканчивающийся на ту же цифру, не будет красивым — значит, в каждом из 6 месяцев по 5 красивых дат, а всего в 2023 году — 30.
Ответ
30.
