Дан треугольник ABC . На прямой AC отмечена точка B1 так, что AB=AB1 , при этом B1 и C находятся по одну сторону от A . Через точки C , B1 и основание биссектрисы угла A треугольника ABC проводится окружность , вторично пересекающая окружность, описанную около треугольника ABC , в точке Q . Докажите, что касательная, проведённая к в точке Q , параллельна AC .

   Решение

Четырехугольник ABCD описан около окружности. Биссектрисы внешних углов A и B пересекаются в точке K , внешних углов B и C – в точке L , внешних углов C и D – в точке M , внешних углов D и A – в точке N . Пусть K₁ , L₁ , M₁ , N₁ – точки пересечения высот треугольников ABK , BCL , CDM , DAN соответственно. Докажите, что четырехугольник K₁L₁M₁N₁ – параллелограмм.

   Решение

Существуют ли три попарно различных ненулевых целых числа, сумма которых равна нулю, а сумма тринадцатых степеней которых является квадратом некоторого натурального числа?

   Решение

Расставьте скобки так, чтобы получилось верное равенство:

   Решение

Темы:    [ Против большей стороны лежит больший угол ] [ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

На продолжении стороны AC треугольника ABC отложен отрезок  CD = CB.  Докажите, что если  AC > BC,  то угол ABD – тупой.

Подсказка

Проведите биссектрису угла ACB.

Решение 1

  Пусть CK – биссектриса треугольника ABC (рис. слева). Поскольку  AC > BC,  то  ∠ABC > ∠BAC,  а так как  ∠ACK = ∠BCK,  то  ∠AKC > ∠BKC.  Следовательно, угол AKC – тупой.
  С другой стороны,  ∠ACK = ½ ∠ACB = ∠CDB.
  Следовательно,  CK || BD  и  ∠ABD = ∠AKC.  Поэтому  ∠ABD > 90°.

Решение 2

  Пусть окружность с центром в точке C и радиусом  CD = CB  пересекает отрезок AC в точке M (рис. справа). Тогда  ∠ABD = ∠ABM + ∠MBD.
  Поскольку  ∠MBD = 90°,  то  ∠ABD > 90°.

Источники и прецеденты использования